Исследовать на экстремум функцию z=xy-x2-y+6x+3

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=y=const=(xy-x2-y+6x+3)x'=y-2x+6
∂z∂y=x=const=(xy-x2-y+6x+3)y'=x2y-1
y-2x+6=0x2y-1=0 y=2x-6x2(2x-6)-1=0 y=2x-6x=4x-12
y=2x-63x=12 y=2x=4 x=4y=4
Получили критическую точку:
M14;4
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=y-2x+6x'=-2
∂2z∂y2=x2y-1y'=-x4y3
∂2z∂x∂y=(x2y-1)x'=12y
Вычислим значение частных производных второго порядка в критических точках:
A=∂2z∂x2M1=-2 C=∂2z∂y2M1=-18 B=∂2z∂x∂yM1=14
Вычислим значение выражения:
AC-B2=14-116=316
Так как AC-B2>0 и A<0 то в точке M1 имеется максимум
zmax=zM1=4∙4-42-4+6∙4+3=15