Исследовать функцию на условный экстремум z=2x2+4y2+4x-4y+3

Найдем условный экстремум функции двух переменных методом замены переменной.
Выразим переменную x из уравнения связи
x=2-y
Подставим найденное значение в функцию z:
z=2x2+4y2+4x-4y+3=2(2-y)2+4y2+42-y-4y+3=
=8-8y+2y2+4y2+8-4y-4y+3=6y2-16y+19
Получили функцию z, зависящую только от одной переменной . Найдем экстремум данной функции
Вычислим первую производную:
z'=12y-16
Приравняем первую производную к нулю:
12y-16=0 y=43
x=2-y=23
Получили стационарную точку:
M23;43
Вычислим вторую производную функции z:
z''=12y-16=12
Так как z''>0, то найденная стационарная точка является точкой минимума функции.
Найдем значение функции в точке минимума:
zmin=z23;43=2∙232+4∙432+4∙23-4∙43+3=89+649+83-163+3=759
Ответ:
zmin=z23;43=673