Исследовать сходимость ряда n=1∞ln1+sin1n+e1n-cos1nn+ln2n+arctgn2zn

При n→∞ имеем:
ln1+sin1n~sin1n-sin21n2~1n-12n2
e1n~1+1n+12n2
cos1n~1-12n2
arctgn2~n2
Тогда можем записать:
ln1+sin1n+e1n-cos1nn+ln2n+arctgn2≤2nn+n2<2n3
Рассмотрим ряд:
n=1∞2n3zn
Воспользуемся признаком Даламбера:
q=limn→∞an+1an=limn→∞2n+13zn+12n3zn=limn→∞n3zn+13=z
Т.к . ряд сходится при q<1, то имеем круг сходимости z<1.
Причем на границе области сходимости z=1 ряд сходится абсолютно, т.к