Исследовать сходимость числового ряда n=1∞n2+n+14n

Сначала проверим выполняется ли для данного ряда необходимый признак сходимости. Для этого рассмотрим предел общего члена ряда при n→∞, если равен 0, то ряд может быть сходящимся.
limn→∞n2+n+14n=0.
Теперь используем признак Даламбера для исследования ряда на сходимость:
limn→∞an+1an=limn→∞n+12+n+1+14n+1n2+n+14n=limn→∞n2+3n+34nn2+n+14n+1=
=n2+3n+3n2+n+1→1=limn→∞4n4n+1=14.
Так как предел меньше 1, то согласно признаку Даламбера, исходный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится согласно признаку Даламбера.