Исследовать сходимость числового ряда n=1∞14n6+n

Сначала проверим выполняется ли для данного ряда необходимый признак сходимости. Для этого рассмотрим предел общего члена ряда при n→∞, если равен 0, то ряд может быть сходящимся.
limn→∞14n6+n=1∞=0.
Теперь используем сравнения числовых рядов . Для всех натуральных номеров n=1,2,3… справедливо очевидное неравенство: 4n6+n≥4n6, а большим знаменателям соответствуют меньшие дроби, поэтому:
14n6+n≤14n6,
значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом 
n=1∞14n6=n=1∞1n32.
Ответ: ряд сходится согласно признаку сравнения.