Исследовать ряды на сходимость В задании 4 оценить сумму ряда после третьего члена

Проверим выполнимость необходимого признака сходимости:
an=2n-13n+1
limn→∞an=limn→∞2n-13n+1=∞∞=Разделим числитель и знаменатель на n=limn→∞2-1n3-1n=23
Так как общий член ряда не стремится к нулю, то необходимый признак сходимости ряда не выполняется и ряд расходится.
Сравним данный ряд со сходящимся, обобщенно гармоническим рядом, с показателем степени α=2
n=1∞an=n=1∞2n+5n3+8
n=1∞bn=n=1∞1n2
limn→∞anbn=limn→∞2n+5n3+81n2=limn→∞2n3+5n2n3+8=∞∞=Разделим числитель и знаменатель на n3=
=limn→∞2+5n1+8n3=2
Получили конечное, отличное от нуля число, значит, исходный ряд также сходится.
Для исследования сходимости применим признак Даламбера:
an=2nn∙3n-1 an+1=2n+1n+1∙3n=2∙2nn+1∙3∙3n-1
limn→∞an+1an=limn→∞2∙2nn+1∙3∙3n-1∙n∙3n-12n=23∙limn→∞nn+1=23∙limn→∞n+1-1n+1=
=23∙limn→∞1-1n+1=23
limn→∞an+1an=23<1
По признаку Даламбера ряд сходится.
Для исследования сходимости знакочередующегося ряда применим признак Лейбница.
an=(-1)n∙n3n4+1
limn→∞an=limn→∞n3n4+1=Разделим числитель и знаменатель на n4=limn→∞1n1+1n4=01=0
Кроме того, общий член ряда по модулю стремится к нулю монотонно.
12>817>2782>….>
Поэтому по признаку Лейбница ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=1∞an=n=1∞n3n4+1
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом:
n=1∞bn=1n
limn→∞bnan=limn→∞1nn3n4+1=limn→∞n4+1n4=limn→∞1+1n4=1
Получили конечное, отличное от нуля число