Исследовать на устойчивость нулевое решение системы ⅆxⅆt=-2x-5yⅆyⅆt=2x+2y

Убедимся, что точка (x=0,y=0) является положением равновесия для заданной системы:
f10,0=-2*0-5*0=0, f20,0=2*0+0*0=0
Для заданной системы мы получили матрицу Якоби следующего вида:
J=-2-522
Вычислим ее собственные значения:
det-2-λ-522-λ=-2+λ2-λ+10=-4+λ2+10=λ2+6=0
λ1,2=±6i-собственные числа.
Так как собственные числа комплексные, α=0, β≠0, то 0,0- центр . Причем мы имеем чисто мнимые корни характеристического уравнения. Исследование по 1-му приближению невозможно. В данном случае V=ax2+by2,b,a>0
dVdt=2ax-2x-5y+2by2x+2y=-4ax2-10axy+4bxy+4by2=-4ax2-by2+xy(4b-10a)
При a>b,b=5a2получим, что dVdt≤0.
Таким образом, при a>b,b=5a2 функция V=ax2+y2
будет положительно определенной, а ее производная dVdt, составленная в силу данной системы, является отрицательно-определенной