Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды

Воспользуемся разложением функции ex в ряд Тейлора по степеням х.
ex=1+x+x22!+x33!+…+xnn!+…
При x=13: 3e=e13=1+13+12!∙132+13!∙133+…+1n!∙13n+…
Ряд не знакочередующийся. Оценим погрешность приближения с помощью остаточного члена ряда Маклорена . Так как fn+1x=ex, то
Rnx=ecn+1! ∙xn+1,
Где 𝑐 лежит между 0 и x. При x=1/3:
Rn13=ecn+1! ∙13n+1<e13n+1! ∙13n+1 , 0<c<13.
При n=4: R413=e135! ∙135=0,000048>0,00001;
При n=5: R513=e136! ∙136=0,000003<0,00001;
Следовательно, для достижения заданной точности достаточно взять n=5:
3e≈1+13+12!∙132+13!∙133+14!∙134+15!∙135≈1+0,333333+0,055556+0,006173+
+0,000514+0,000034≈1,395610.
3e≈1,39561±0,00001.
Ответ: 3e≈1,39561±0,00001.