Исследовать на сходимость ряд n=2∞arctg 1n2-1

N=2∞an=n=2∞arctg 1n2-1
Исследуем на сходимость ряд с общим членом bn
n=2∞bn=n=2∞1n2-1
Сравним данный ряд со сходящимся обобщенно гармоническим рядом с показателем степени k=2.
n=2∞cn=n=2∞1n2
limn→∞cnbn=limn→∞n2-1n2=limn→∞1-1n2=1
Получили конечное, отличное от нуля число, поэтому ряд с общим членом bn также сходится.
Сравним исходный ряд со сходящимся рядом с общим членом bn
limn→∞anbn=limn→∞arctg 1n2-11n2-1=При n→∞: 1n2-1→0Используем эквивалентные бесконечно малые:При α→0: arctg α ~ α=
=limn→∞1n2-11n2-1=1
Получили конечное, отличное от нуля число, поэтому исходный ряд также сходится.