Исследовать на сходимость числовые ряды n=1∞-1nn23n!

Ряд знакочередующийся, воспользуемся признаком Лейбница.
Проверим условия:
1) an≥an+1
13<46>918>1672>…>n23n!>n+123n+1!>…
Члены ряда убывают по абсолютной величине, начиная с n=2.
2) limn→∞an=limn→∞n23n!=0.
Факториал растет быстрее степенной функции.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость, применим признак Даламбера к ряду из модулей:
limn→∞an+1an=limn→∞n+123n+1!:n23n!=limn→∞n21+1n2∙3n!3n!3n+13n+23n+3n2=0<1
Ряд из абсолютных величин сходится по признаку Даламбера, следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Ответ: сходится абсолютно.