Исследовать на экстремум функцию zx y=x3y2(6-x-y)

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=y=const=(x3y2(6-x-y))x'=18x2y2-4x3y2-3x2y3
∂z∂y=x=const=(x3y2(6-x-y))y'=12x3y-2x4y-3x3y2
18x2y2-4x3y2-3x2y3=012x3y-2x4y-3x3y2=0
x2y2(18-4x-3y)=0x3y12-2x-3y=0
Плоскости x=0 и y=0 являются стационарными.
z0;y=zx;0=0
18-4x-3y=012-2x-3y=0
4x+3y=182x+3y=12
Вычтем из первого уравнения второе:
4x+3y=182x=6 => x=3y=2
Получили стационарную точку:
M13;2
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=18x2y2-4x3y2-3x2y3x'=36xy2-12x2y2-6xy3
∂2z∂y2=12x3y-2x4y-3x3y2y'=12x3-2x4-6x3y
∂2z∂x∂y=(12x3y-2x4y-3x3y2)x'=36x2y-8x3y-9x2y2
Вычислим значение частных производных второго порядка в критических точках:
A=∂2z∂x2M1=-144 C=∂2z∂y2M1=-162 B=∂2z∂x∂yM1=-108
Вычислим значение выражения:
AC-B2=-144∙-162-(-108)2=23328-11664=11664
Так как AC-B2>0 и A<0 то в точке M1 имеется максимум
zmax=z3;2=33∙226-3-2=27∙4=108