Исследовать на экстремум функцию z=x3-y3-3xy

Находим первые частные производные данной функции:
zx'=x3-y3-3xyx'=3x2-3y
zy'=x3-y3-3xyy'=-3y2-3x
Приравнивая к нулю, получаем систему уравнений:
3x2-3y=0-3y2-3x=0x2-y=0y2+x=0x=0y=0x=-1y=1
Из корней которой, определяем стационарные точки данной функции . В нашем случае это две точки с координатами A0;0 и B-1;1. Выясним, являются ли эти точки экстремумом. Для этого найдём вторые частные производные:
zxx''=3x2-3yx'=6x; zyy''=-3y2-3xy'=-6y; zxy''=-3y2-3xx'=-3
∆=zxx''zxy''zxy''zyy''=zxx''∙zyy''-zxy''2=6x∙-6y--32=-36xy-9
Используя достаточные условия экстремума, имеем
для точки с координатами A0;0:
∆1=6x=6∙0=0
∆2=-36xy-9=-36∙0∙0-9=0-9=-9<0
В точке A0;0 экстремума нет.
для точки с координатами B-1;1:
∆1=6x=6∙-1=-6<0
∆2=-36xy-9=-36∙-1∙1-9=36-9=27>0
Так как в точке B имеем ∆1<0 и ∆2>0, то в данной точке функция имеет максимум.
zmax=-13-13-3∙-1∙1=-1-1+3=2