Исследовать функцию на экстремум z=3x+6y-x2-xy-y2

Найдём частные производные функции по каждой из переменных:
∂z∂x=3x+6y-x2-xy-y2x'=3-2x-y
∂z∂y=3x+6y-x2-xy-y2y'=6-x-2y
Приравняем к нулю, получаем систему уравнений:
3-2x-y=06-x-2y=0→2x+y=3x+2y=6→y=3-2xx+6-4x=6→y=3-2x-3x=0→y=3-2*0=3x=0
Получили одну стационарную точку:
M(0;3)
Найдём частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=(3-2x-y)x'=-2
∂2z∂y2=(6-x-2y)y'=-2
∂2z∂x∂y=(3-2x-y)y'=-1
∂2z∂y∂x=(6-x-2y)x'=-1
Очевидно, что в найденной стационарной точке частные производные второго порядка функции имеют те же значения.
Стационарную точку характеризует определитель:
∆=∂2z∂x2∂2z∂x∂y∂2z∂y∂x∂2z∂y2
Тогда получаем:
∆=-2-1-1-2=-2*-2--1*-1=4-1=3
Так как значение данного определителя больше нуля, а значение частной производной второго порядка по переменной x меньше нуля, делаем вывод, что точка M(0;3) – точка максимума функции.
Найдём значение функции:
zmax=z0;3=3*0+6*3-0-3*0-32=0+18-0-0-9=9
Ответ: M(0;3) – точка максимума функции