Исследование движения механической системы с применением теоремы об изменении кинетической энергии

Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести P1 и P2, сил F1 и F2 и пары сил с моментом М.
Радиус однородного диска r. Радиусы ступеней ступенчатого диска R и r. Радиус инерции ступенчатого диска относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения, равен iz .
1. Найти ускорение центра масс диска 2.
2. Найти реакцию опоры диска 2 на плоскость (её нормальную
составляющую и силу сцепления диска с плоскостью).
P1 = 15 Н;P2 = 20 Н
F1 = 10 Н;F2 = 20 Н
M = 30 Н ∙ м
α = 60◦;β = 30◦
R = 0,8 м;r = 0,4 м
i2 = 0,7 м
1. Находим ускорение центра масс тела 2. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальном виде
dTdt = ∑ N(Fke)
Выражаем угловые и линейные скорости через центр масс диска 2
K1 и K2 – МЦС тел 1 и 2, соответственно
VC = V2
VCR = VBR+r = ω2
ω2 = V2RVB = VC R+rR = V2 R+rR
VC = VA = V2
VAAK = VDDK = ω1
ω1 = VAR1 = V2R1DK1 = R12
VD = VA ∙DP1AK1 = V2 ∙R12R1 = V22
Кинетическая энергия системы
T = T1 + T2
Цилиндр 1 и ступенчатый диск 2 совершают плоское движение
T1 = 12 P1g VA2 + 12 JC1ω12JC1 = 12 P1g R12
T1 = 12 P1g V22 + 12 ∙ 12 P1g R12 V22R12 = P1g (12 + 14) V22 = 34 P1g V22
T2 = 12 P2g V22 + 12 JC2ω22JC2 = P2g i22
T2 = 12 P2g V22 + 12 P2g i22 V22R22 = 12 P2g (1 + i22R22) V22
T = 34 P1g V22 + 12 P2g (1 + i22R2) V22 = 12g (32 P1 + P2 (1 + i22R2)) V22 =
= 12g (32 15 + 20 (1 + (0,70,8)2) V22 = 12 ∙10 (22,5 + 35,31) V22 = 12 ∙ 5,78V22
Мощности активных сил системы
N(P1) = 0, так как P1 ┴ VA
N(N1) = N(FCY1) = 0, так как VK1 = 0
N(N2) = N(FCY2) = 0, так как VK2 = 0
N(F2) = M(F2) ω2 = -F2h2ω2 = -F2h2 V2R
h2 = (R + r) sin α
N(F2) = -F2 (R + r) sin α V2R
N(P2) = M(P2) ω2 = -P2hP2ω2 = -P2hP2 V2R
hP2 = R sin α
N(P2) = -P2R sin α V2R = -P2 sin α V2
N(F1) = M(F1) ω1 = F1h1ω1 = F1h1 V2R1
h1 = K1D sin (45◦ + β) = R12 sin (45◦ + β)
N(F1) = F1R12 sin (45◦ + β) V2R1 = F12 sin (45◦ + β)
N(M) = Mω1 = M V2R1 = M V2r
N = -F2 (R + r) sin α V2R – P2 sin α V2 + F12 sin (45◦ + β) + M V2r =
= (-20 (0,8 + 0,4) sin 60◦ 10,8 – 20 sin 60◦ + 102 sin (45◦ + 30◦) +
+ 30 10,4) V2 = (-19,48 – 17,32 + 13,62 + 75) V2 = 51,82V2
4