Для заданной системы автоматического регулирования:
Найти эквивалентную передаточную функцию системы, структура которой изображена на рисунке.
Построить ЛАЧХ разомкнутой системы автоматического регулирования.
Определить устойчивость системы при заданных передаточных функциях методом Найквиста (Если порядок характеристического системы n>4 необходимо упростить характеристическое уравнение, пренебрегая малыми постоянными времени).
Рисунок 1 – Структурная схема заданной системы
Передаточные функции системы:
, , ,
где b0=12, a1=0.26, b1=12, a0=1.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Исходная схема:
Перенесём звено W2(p) через узел против направления прохождения сигнала:
По правилам структурных преобразований, нужно включить звено с ПФ обратной данному 1/W2(p) в контур местной обратной связи:
Поменяем местами узлы:
Тогда ПФ разомкнутой системы:
Подставляем числовые коэффициенты.:
Для расчёта частотных характеристик перейдём к комплексной частотной характеристике, произведя замену оператора Лапласа р→i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Данное выражение КЧХ можно представить в виде: , где U(ω) и V(ω) – действительная и мнимая составляющие КЧХ соответственно
. Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):
ЛАЧХ – это АЧХ в логарифмическом масштабе:
Далее оцениваем устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста.
Ранее мы определили ПФ разомкнутой системы:
Знаменатель ПФ разомкнутой системы является полиномом 2 порядка со всеми положительными коэффициентами, следовательно, разомкнутая система устойчива.
Тогда по критрию Найквиста, замкнутая система будет устойчива, если годограф АФЧХ (Найквиста) не будет охватывать точку (-1; i0).
Ранее при расчёте ЛАЧХ мы определили действительную и мнимую составляющую
Откладывая по оси абсцисс действительную составляющую а по оси ординат мнимую составляющую строим годограф АФЧХ разомкнутой системы:
Годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1; j0), следовательно, замкнутая система устойчива.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
