Используя метод разделения переменных найти решение однородного волнового уравнения utt=a2uxx

Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
При этом функция X(x) зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT''t=a2X''(x)T(t)
Разделяем переменные:
T''(t)a2Tt=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим λ):
T''(t)a2Tt=X''(x)Xx=λ
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T''t-a2λTt=0
Граничные условия X'0Tt=0 и Xl'Tt=0 дают X'0=X'l=0, т.е. ищем ненулевые решения уравнения X''x-λXx=0 - обыкновенного линейного дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c2
Находим производную X'=c1 и удовлетворяем условиям X'0=Xl=0. Имеем c1=0, т.е. Xx=c2, где A0 - некоторая константа.
Возвращаемся к уравнению T''t-a2λTt=0.
Его характеристическое уравнение примет вид:
k2=0
И общее решение:
T0t=A0t+B0
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Находим производную X'=c1λeλx-c2λe-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X'0=X'l=0:
c1λ-c2λ=0c1λelλ-c2λe-lλ=0
Выражая из первого c1=c2 и подставляя во второе, получаем c1=c2=0, т.е. X(x)≡0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Находим производную X'=-c1-λsin-λx+c2-λcos-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X'0=X'l=0:
-c1-λsin0+c2-λcos0=0-c1-λsinl-λ+c2-λcosl-λ=0
Получаем:
c2=0c1sinl-λ=0
Тогда:
c1sinl-λ=0 l-λ=πn λ=-π2n2l2
Т.е