Исходя из ln1+x1-x=0xdt1-t2 Найти y=ln1+x1-x ряд Тейлора и область сходимости ряда

Воспользуемся стандартным разложением:
11-x=1+x+x2+…+xn+…=n=0∞xn, x<1
11-x2=1+x2+x4+…+x2n+…=n=0∞x2n, x<1
Следовательно, интеграл:
0xdt1-t2=0xn=0∞t2ndt=n=0∞t2n+12n+10x=n=0∞x2n+12n+1.
Найдем область сходимости:
limn→∞un+1un=limn→∞x2n+1+12n+1+12n+1x2n+1=limn→∞n2+1nn2+3nx2=x2
Следовательно, ряд сходится при x2<1⇒-1<x<1, радиус сходимости R=1