Исходные данные H – высота этажа 3 3 м EI – жесткость стоек – 1

Для консольной расчетной схемы (рис. 1) определить горизонтальную сейсмическую нагрузку, с которой массы весом Q1, Q2, Q3 могут действовать на сооружение, для 3-х тонов колебаний.
Расчет консоли. Требуется определить горизонтальную сейсмическую нагрузку для системы с тремя степенями свободы (рисунок 2). По сейсмическим условиям система относится к сооружениям башенного типа, небольших размеров в плане, в конструкциях которых допускаются повреждения отдельных элементов, затрудняющих нормальную эксплуатацию при сейсмичности района строительства 8 баллов на грунтах II-й категории.
Рисунок 2 Свободные колебания консоли: единичные эпюры; формы колебаний
Сейсмические силы S1, S2, с которыми массы могут действовать на сооружение, определяем по формуле (1.1) согласно п. 5.5 [1]:
где K0 – коэффициент, учитывающий назначение сооружения и его ответственность, принимаемы по таблице 4.2 [1] =1,1;
К1 – коэффициент, учитывающий допустимые повреждения зданий или сооружений, по табл. 5.2 [1]=0,35;
Sj0ik – значение сейсмической нагрузки для i-й формы собственных колебаний здания, определяемое в предложении упругого деформирования конструкций по формуле
k
ik
i
где коэффициенты, согласно исходным данным, принимают следующие значения: К1=0,35; К = 1,3; А = 0,2
При этих данных сейсмическая нагрузка, сосредоточенная в узле k (k=1,2), для i-го тона колебаний (i = 1, 2) вычисляется по формуле:
где mjk – масса здания или момент инерции соответствующей массы здания, отнесенные к точке k по обобщенной координате j, определяемые с учетом расчетных нагрузок на конструкции согласно п.5.1 [1];
A – значение ускорения в уровне основания, принимаемое равным 1,0; 1,0; 3,0 м/с2 для расчетной сейсмичности 7,8,9 баллов соответственно;
i  коэффициент динамичности, соответствующий i-й форме собственных колебаний зданий или сооружений, принимаемый в соответствии с п .5.6 [1] и вычисляемый по формулам (1.4) и (1.5).
Рисунок 3 Зависимость коэффициента динамичности от периода колебаний: кривая 1- для грунтов I и II категории; кривая 2 – для грунтов III и IV категории
Для грунтов I и II категории коэффициент динамичности принимает следующие значения:
Для грунтов III и IV категории:
Во всех случаях значения i должны приниматься не менее 0,8.
ηik - коэффициент, зависящий от формы деформации здания или сооружения при его собственных колебаниях по i-й форме, от узловой точки приложения рассчитываемой нагрузки и направления сейсмического воздействия, определяемый по п . 5.7, 5.8 [1].
Определим значения дополнительных данных, необходимых для выполнения расчетов. Зная вес грузов определим соответствующие массы исходя из формулы (1.6).
k
где Qjk – вес здания или момент инерции соответствующего веса здания,
отнесенные к точке k по обобщенной координате j;
mk j  масса здания или момент инерции соответствующей массы здания, отнесен- ные к точке k по обобщенной координате j;
g – ускорение свободного падения.
По результатам расчетов согласно формуле (1.6) получим:
m1= Q1/g=500/9,81= 50,96 кНс2/м;
m2=m3= Q2/g=400/9,81= 40,8 кНс2/м;
Выразим значения масс через m: m1=1,24m, m2=m, m3=m, m=40,8 кНс2/м Жесткость на первом участке сооружения EI1 = 10*EI=1,4106 кНм2; Жесткость на втором участке сооружения EI2 = 9*EI = 1,26*106 кНм2; Жесткость на третьем участке сооружения EI3 = 8*EI = 1,12*106 кНм2; Размеры участков по высоте h1 =h2 =h3 =3,3 м.
Для определения коэффициентов i и ik необходимо рассмотреть свободные колебания системы.
Свободные колебания
Для определения периодов и форм собственных колебаний системы с N степенями свободы необходимо, как известно, решить характеристическое уравнение:
(δ11m1-λ)δ12m2δ21m1(δ22m2-λ)δ31m1δ32m2δ13m3δ23m3(δ33m3-λ)=0
где λ=1/ω2 – параметр частоты колебаний
результатом решения будут n значений λi , которым соответствуют периоды колебаний:
где i  номер тона колебаний (i = 1, 2, . . ., n).
Единичные перемещения вычислим, учитывая изгиб консоли, по эпюрам М1, М2, М3,
11 = h3/6EI;12 = 21 = 4h3/12EI; 22 = 3h3/2EI;33 = 3h3/6EI;
(δ11m1-1/ω2)δ12m2δ21m1(δ22m2-1/ω2)δ31m1δ32m2δ13m3δ23m3(δ33m3-1/ω2)=0
где   круговая частота колебаний.
Подставим сюда значения масс и перемещений, разделим элементы определителя на (mh3/4EI) и представим определитель в виде:
(8-2λ)-4-4(8-2λ)0-40-4(4-λ)=0
где  = 2EI/2 mh3=103/2.
Раскрывая определитель и приравнивая к нулю, найдем значения  :
2  3  32    0,
его корни 33
Частоту и период колебаний определим из выражения (1.10):
 103/λ; T = 2/ = 0,433
Откуда находим:
при λ=λ1, Т1=0,4333,73=0,224 с
при λ=λ2, Т2=0,4332=0,300 с
при λ=λ3, Т3=0,4330,268=0,837 с
Для определения форм колебаний составим систему уравнений с неизвестными перемещениями x1 и х2 по аналогии с выражением (1.9):
2-λх1-х2=0-х1+2-λх2-1=0
Откуда следует:
при λ=λ1=0,268; х1=0,5 х2=0,866
при λ=λ2=2; х1=-1 х2=0
при λ=λ3=3,752; х1=0,5 х2=-0,866
Таким образом, имеем векторы, определяющие формы собственных колебаний, нормированные так, что перемещения ригеля 3-го этажа равны единице:
х1=0,5000,8661,000 х2=-1,0000,0001,000 х3=0,500-0,8661,000
Формы собственных колебаний, как известно, обладают свойством ортогональности, которое выражается в том, что для любых двух векторов Хi и Хj, если i ≠ j, выполняется условие:
В частности, если все массы одинаковы, то и сами векторы Хi и Хj будут ортогональны, т.е