Исходные данные: F=12 кН; A1=0,9·10-4 м2; A2=1,7·10-4 м2; a=1,1м; b=1,8 м; h=2,7 м; Δ=0,17 мм; Δl=55о.
Условие задачи: Для статически неопределимой системы, состоящей из невесомой жесткой балки АВ и двух стальных стержней 1 и 2, нагруженной силой F,
Требуется:
раскрыть статическую неопределенность, т.е. определить усилия в стержнях N1 и N2;
определить напряжения в стержнях Ϭ1 и Ϭ2;
определить дополнительные напряжения в стержнях Ϭ1Δ и Ϭ2Δ, вызванные неточностью изготовления одного из них на Δ;
определить дополнительные напряжения в стержнях Ϭ1t и Ϭ2t, вызванные изменением температуры на Δt0.
Решение
Выполним рисунок статически неопределимой системы
center961500
Рис. 1
Раскроем статическую неопределимость системы.
Составим условие равновесия для стержневой системы
MA=N1∙b+N2∙sinα∙a+2b-F∙a+2b=0 (1)
где α=arctghb=arctg2,71,8=56,3o
Неизвестных усилий в стержневой системе (N1 и N2) больше, чем уравнений равновесия, на единицу, следовательно, система один раз статически неопределима. Составим одно дополнительное уравнение совместности деформаций стержней, которое получим из плана перемещений (см. рис. 2).
В результате деформации стержней от действия силы абсолютно жесткий стержень повернется на некоторый угол, и шарниры B и С займут новое положение В ' и С '.
center381000
Рис. 2
Из подобия треугольников АСС` и ABB` выразим
CC`AC=BB`AB
где CC`=Δl1, BB`= Δl2/sinα, AC=b, AB=a+2b
Получаем
∆11b=∆12sinα ∙(a+2b)
где
∆11=N1∙l1E∙A1=l1=h=N1∙hE∙A1
∆12=N2∙l2E∙A2=l2=h2+b2=N2∙h2+b2E∙A2
Тогда
N1∙hE∙A1∙b=N2∙h2+b2E∙A2∙sinα (a+2b)
Выразим отсюда
N1=N2∙h2+b2∙E∙A1∙bE∙A2∙sinα (a+2b)∙h
Подставив в полученное уравнение известные числовые значения, получим
N1=0.282· N2 (2)
Получены уравнения (1) и (2) для раскрытия статической неопределимости системы
.
Подставив в полученные уравнения известные числовые значения, найдем усилия в стержнях 1 и 2:
N1=3,61кН, N2=12,79 кН.
Определим напряжения в стержнях.
σ1=N1A1=3,61∙1030,9∙10-4=4,01∙107 Па=40,1 МПа
σ2=N2A2=12,79∙1031,7∙10-4=7,52∙107 Па=75,2 МПа
Построим схему (Рис.3). Пусть первый стержень длиннее заданного значения на CC``= Δ.
При монтаже он сожмется на C`C``= Δl1, а второй стержень удлинится на Δl2.
center000
Рис. 3
При этом условие равновесия системы будет иметь вид:
MA=-N1∙b+N2∙sinα∙a+2b=0 (3)
А дополнительное уравнение совместности деформаций стержней будет таким:
CC`AC=BB`AB
где CC`=Δ-Δl1, BB`= Δl2/sinα, AC=b, AB=a+2b
∆-∆11b=∆12sinα ∙(a+2b)
Выражения для Δl1 и Δl2 остаются такими же, как в предыдущем пункте расчета.
Подставив их в дополнительное уравнение, получим
∆-N1∙hE∙A1b=N2∙h2+b2E∙A2sinα ∙(a+2b) (4)
В результате имеем два уравнения (3) и (4) с двумя неизвестными N1 и N2, решая их, и принимая модуль упругости стали Е=2·1011 Па, находим:
N1=1,0 кН , N2=0,46 кН
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
