Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки, находящейся под действием постоянных сил
Груз М массой m начинает движение из точки D с начальной скоростью V0. Его движение происходит по наклонной плоскости длины l, составляющей угол α с горизонтом вдоль линии АВ наибольшего ската (рис. Д1.0 ÷ Д1.9). Положение точки D задается величиной AD=s0 ,вектор начальной скорости 𝑉0 направлен параллельно прямой АВ к точке В. При движении по плоскости на груз действует постоянная сила Q, направление которой задается углом γ; коэффициент трения скольжения между грузом и наклонной плоскостью равен f=0,1. Через τс груз покидает плоскость или в точке A, или в точке B и, двигаясь далее в вертикальной плоскости под действием только силы тяжести, через T секунд после отделения от плоскости попадает вточку С. Все возможные варианты траекторий движения груза в точку C показаны на рисунках.
Ответ
1. Точка отрыва – точка B.
2. Время движения по наклонной плоскости τ=2,184 с
3. Скорость груза в точке B
VB=17,467 м/с
4. Координаты точки C.
xc=41,130 м yc=60 м
5. Время движения груза в воздухеT=2,719 с
6. Скорость в точке падения C
Vc=38,503 м/с
Решение
Считая груз материальной точкой найти:
точку (А или В) отрыва груза от плоскости;
время τ движения груза по наклонной плоскости;
скорость груза VB(или VA) в момент отрыва;
координаты xC,yC точки C приземления груза;
время T движения груза в воздухе;
скорость VC груза в точке падения.
Необходимые данные приведены на рисунках и втабл.Д1.
1. Рассмотрим участок AB.
Составим дифференциальное уравнение движения вдоль оси x1
mx1=mq*sin300-Q*cos450-Fтр (1)
Fтр=f*N (2)
Для определения реакции N рассчитаем
my1=N-mq*cos300+Q*sin450 (3)
Движения вдоль вертикальной оси нет,
значит y1=0, следовательно
N=mq*cos300-Q*sin450 (4)
Подставим уравнения 2 и 4 в уравнение 1
mx=mq*sin300-Q*cos450-f(mq*cos300-Q*sin450) (5)
Подставим в уравнение числовые данные
30x=30*9,81*sin300-30*cos450-0,1(30*9,81*cos300-30*sin450)
x=9,81*sin300-cos450-0,1(9,81*cos300-sin450)
x=3,419 (6)
Проинтегрируем полученное выражение 2 раза
Vx1=x1=3,419*t+c1 (7)
x1=3,419*t22+c1t+c2 (8)
Начальные условия
V0=10 м/с x0=10 м
значит,
C1=10, C2=10
Подставим поученные значения в уравнения 7 и 8, получим
Vx1=3,419*t+10 (9)
x1=1,709t2+10t+10 (10)
2
. Определим время и скорость в момент времени, когда груз покидает наклонную плоскость в точке B.
при x1=40 м
1,709t2+10t+10=40
1,709t2+10t-30=0
Д=100+4*1,709*30=305,08
t1=-10+305,082*1,709=2,184 с
t2=-10-305,082*1,709=-4,702 с
Принимаем положительное значение.
Таким образом, время движения груза по участку AB
τ=2,184 с
Определим скорость груза в точке B.
VB=3,419*2,184+10=17,467 м/с
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
