Имеются поквартальные данные о численности занятых на предприятиях машиностроения в некотором городе

Построим по исходным данным корреляционное поле
Наблюдается четко выраженный тренд по снижению численности занятых, по виду линейный.
Будем искать уравнение линейного тренда в виде
Yt=a+b∙t
t – номер квартала
Параметры a и b уравнения тренда определяются методом наименьших квадратов; воспользуемся инструментом Анализ данных в Microsoft Excel.
В результате регрессионного анализа получаем следующие результаты

Коэффициент корреляции R говорит об очень высокой силе связи между переменными
Коэффициент детерминации R2 показывает, что изменение Yt – численности занятых на 99,83% объясняется влиянием времени t.
Выберем уровень значимости 5% (то есть выводы о модели будем делать с надежностью 95%).
Вероятность выполнения нулевой гипотезы о том, что уравнение в целом незначимо менее 5%:
С надежностью 95% линейное уравнение в целом значимо.
По найденным коэффициентам
записываем уравнение
Yt=241,4722-10,85∙t
Коэффициент b=-10,85 показывает, что в каждом следующем квартале t Численность занятых Yt будет ниже в среднем на 10,85 тыс. чел.
Вероятность выполнения нулевой гипотезы для коэффициента b при факторе t менее 5%:

следовательно, с надежностью 95% делаем вывод, что фактор t значим, то есть время оказывает влияние на зависимую переменную.
Средняя ошибка аппроксимации
А =19Yi-YiYi= 0,535%
говорит об очень высокой точности модели.
На графике сравнения фактических и предсказанных значений зависимой переменной Yt видно, что исходные очень точно описываются построенной моделью – расчетные точки почти совпали с точками фактических наблюдений.
Таким образом, построенная модель линейного тренда обладает очень высоким качеством и может использоваться для прогнозирования.
Однако, при проведении прогнозов по линейному уравнению с отрицательным коэффициентом, обозначающим постоянную скорость снижения зависимой переменной, особенно в долгосрочном периоде, можно получить отрицательное значение Yt. Так, используя полученное нами уравнение, уже при t = 23 Численность занятых Yt станет равной –8,08 тыс . чел.
Поэтому линейное уравнение полученного нами тренда, хотя и обладает высоким качеством, не может быть признано наилучшим.
Альтернативой линейному тренду по исходным данным может служить экспоненциальный тренд
Yt=a∙eb∙t
который, в случае (предположительно) a>0 и b<0, не даст отрицательного значения Yt, так как при достаточно больших t будет происходить снижение Численности занятых Yt до значений, близких к 0.
Уравнение экспоненциального тренда является нелинейным как по переменным, так и по параметрам.
Чтобы оценить параметры нелинейного уравнения методом наименьших квадратов, необходимо провести линеаризацию, то есть путем преобразования уравнения и/или замены переменных привести его к линейному виду.
Прологарифмируем обе части уравнения экспоненциального тренда и по правилам работы с логарифмами получим
lnYt=lna+b∙t
Далее проводим замену переменных
Yt'=lnYt
и переобозначаем a'=lna
После замены уравнение примет вид
Yt'=a'+b∙t
При построении регрессии инструментом Анализ данных в Microsoft Excel, необходимо вычислить значения новой переменной Yt' и провести регрессионный анализ с этими новыми значениями:
В результате регрессионного анализа получаем следующие результаты
Индекс детерминации R2 = 99,88% экспоненциальной модели получился выше чем в линейной (99,83%).
Вероятность выполнения нулевой гипотезы о том, что уравнение в целом незначимо менее 5%, следовательно с надежностью 95% уравнение в целом значимо.
Коэффициенты линеаризованного уравнения
позволяют записать линеаризованное уравнение
Yt'=5,5132-0,0584∙t
а затем и исходное нелинейное уравнение путем возврата от логарифма к исходной переменной:
Yt=e5,5132∙e-0,0584∙t
Yt=247,9∙e-0,0584∙t
Коэффициент b=-0,0584 показывает, что в каждом следующем квартале t Численность занятых Yt будет ниже в среднем на 5,84%.
Вероятность выполнения нулевой гипотезы для коэффициента при факторе t менее 5%:

следовательно, с надежностью 95% делаем вывод, что коэффициент значим.
Для расчета средней ошибки аппроксимации вычислим значения зависимой переменной Yt – Численность занятых, подставляя в уравнение
Yt=247,9∙e-0,0584∙t
номера кварталов t:
Средняя ошибка аппроксимации
А =19Yi-YiYi= 0,459%
получилась ниже, чем по линейной модели.
На графике сравнение фактических и предсказанных значений зависимой переменной Y видно, что исходные данные очень точно описываются построенной моделью:
Таким образом, уравнение экспоненциального тренда получилось чуть более точным, чем уравнение линейного тренда, а также с точки зрения экономики более осмысленным.
2) Определим коэффициент автокорреляция первого порядка.
Если во временном ряде есть тенденция, то значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений