Имеются данные об объеме платных услуг населению, млн. рублей для Красноярского края за 2010- 2018 г. г.
год
2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
Объем платных услуг 87785 96365 106584 128221 130324 136815 141580 156940 164815
На основе полученных данных требуется:
1. Построить график динамики объема платных услуг населению.
2. С помощью метода серий проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.
3. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие циклических колебаний во временном ряде.
4. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.
5. С помощью трендовой модели сделать прогноз объема платных услуг населению на 2021 г.
Решение
1.Проверим гипотезу о наличии тренда во временном ряде.
Построим поле корреляции:
Рис. 1.
По виду траектории можно сказать, что объем платных услуг населению для Красноярского края содержит тренд (склонность к росту зависимой переменной).
С помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий сделать вывод о присутствии или отсутствии тренда:
Согласно критерию «восходящих и нисходящих» серий гипотеза случайности проверяется следующим образом
1) Для исходного ряда образуется последовательность , последующему правилу:
Таблица 1
T Объем платных услуг
2010 87785
2011 96365 8580 +
2012 106584 10219 +
2013 128221 21637 +
2014 130324 2103 +
2015 136815 6491 +
2016 141580 4765 +
2017 156940 15360 +
2018 164815 7875 +
В дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нулине участвуют в анализе.
2)Подсчитывается — число серий в последовательности Под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один отдельно стоящий плюс или минус тоже считается серией.
3)Определяется — протяженность самой длинной серии.
4)В условиях случайности временного ряда число серий недолжно быть слишком маленьким, а протяженность самой длинной серии — слишком большой. Если нарушается хотя бы одно из следующих двух неравенств, то гипотеза случайности отвергается для приблизительно 5%-ного уровня значимости:
где
,
Так как нарушаются оба неравенства, то гипотеза случайности отклоняется, во временном ряду отсутствует тренд.
2.Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.
Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
Таблица 2
1 87785
2 96365 87785 -36340,5 -35291,75 1282519840,88 1320631940 1245507618,06
3 106584 96365 -26121,5 -26711,75 697750977,63 682332762,3 713517588,06
4 128221 106584 -4484,5 -16492,75 73961737,38 20110740,25 272010802,56
5 130324 128221 -2381,5 5144,25 -12251031,38 5671542,25 26463308,06
6 136815 130324 4109,5 7247,25 29782573,88 16887990,25 52522632,56
7 141580 136815 8874,5 13738,25 121920099,63 78756750,25 188739513,06
8 156940 141580 24234,5 18503,25 448417012,13 587310990,3 342370260,56
9 164815 156940 32109,5 33863,25 1087332025,88 1031019990 1146719700,56
Сумма 1061644 984614 0 0,00 3729433236,00 3742722706 3987851423,50
Среднее значение 132705,5 123076,8
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 9, а на 8, т.к
. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка:
.
Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция, так как
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
Таблица 3
1 87785
2 96365
3 106584 87785 -31313,00 -30454,14 953610575,29 980503969,00 927454817,16
4 128221 96365 -9676,00 -21874,14 211654206,29 93624976,00 478478125,73
5 130324 106584 -7573,00 -11655,14 88264396,86 57350329,00 135842355,02
6 136815 128221 -1082,00 9981,86 -10800369,43 1170724,00 99637472,02
7 141580 130324 3683,00 12084,86 44508528,86 13564489,00 146043772,16
8 156940 136815 19043,00 18575,86 353740047,57 362635849,00 345062468,59
9 164815 141580 26918,00 23340,86 628289192,57 724578724,00 544795612,16
Сумма 965279 827674 0,00 0,00 2269266578,00 2233429060,00 2677314622,86
Среднее значение 137897 118239,1
Следовательно
.
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.
Таблица 4
Лаг Коэффициент автокорреляции уровней
1 0,965338
2 0,928004
3 0,912975
4 0,984417
5 0,957601
6 0,972704
Коррелограмма:
Рис. 2.
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний.
3.Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии снадежностью 0,99.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y∙t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a0 + 45a1 = 1149429;
45a0 + 285a1 = 6315576.
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнениеПолучаем a1 = 9473,85, a0 = 80345,08.
Таблица 5
t y t2 y2 t · y y(t) (yi-ycp)2 (y-y(t))2
1 87785 1 7706206225 87785 89818,933 1594351660,444 4136884,804
2 96365 4 9286213225 192730 99292,783 982780700,444 8571915,247
3 106584 9 11360149056 319752 108766,633 446490986,778 4763888,268
4 128221 16 16440624841 512884 118240,483 256711,111 99610712,934
5 130324 25 16984344976 651620 127714,333 6810360,111 6810360,111
6 136815 36 18718344225 820890 137188,183 82822133,778 139265,800
7 141580 49 20044896400 991060 146662,033 192256712,111 25827062,801
8 156940 64 24630163600 1255520 156135,883 854139592,111 646603,614
9 164815 81 27163984225 1483335 165609,733 1376459467,111 631601,071
45 1149429 285 1,52335E+11 6315576 1149429 5536368324 151138294,7
Уравнение тренда:
y = 9473,85· t + 80345,08
Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Коэффициент тренда b = 9473,85 показывает среднее изменение объема платных услуг населению для Красноярского края с изменением периода времени t на единицу его измерения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
