Для выбранных ниже вариантов подобрать линейное уравнение регрессии

По исходным данным построим коррелляционное поле:
Оценим параметры линейного уравнения регрессии вида
yx = a0 + a1х.
Формулы для оценки параметров по методу наименьших квадратов:
a1=nxy-xynx2-(x)2,
a0=y-a1*x.
Заполним расчетную таблицу для оценки параметров.
Таблица 1
Расчетные данные до построения уравнения линейной регрессии
№ Y X Y2 X2 YX
1 2 1 4 1 2
2 5 2 25 4 10
3 10 5 100 25 50
4 12 7 144 49 84
5 13 8 169 64 104
6 14 10 196 100 140
7 15 12 225 144 180
8 17 15 289 225 255
9 21 18 441 324 378
10 22 20 484 400 440
Сумма 131 98 2077 1336 1643
Средняя 13,1 9,8 207,7 133,6 164,3
a1=10*1643-98*13110*1336-98^2=0,9563
a0=13.1-0.9563*9.8=3.7279
Уравнение линейной регрессии:
Y=-2,33 + 0,8X1
Найдем коэффициент детерминации:
D=R2,
где R - множественный коэффициент коррелляции между наблюдаемым и теоретическим значениями Y по формуле:
R=y*yтеорет-y*yтеоретσy*σyтеорет,
где σy,σyтеорет – среднеквадратические отклонения соответственно наблюдаемых и теоретических значений Y:
σy=(y-y)2n;
σyтеорет=(yтеорет-y)2n.
Заполним расчетную таблицу для определения коєффициента детерминации:
Таблица 2
Расчетные данные до определения коєффициента детерминации линейной регрессии
№ Y Оценка Y по уравнению модели
(Y теорет) Ошибка регрессии
(Y – Y теорет) (Y – Y ср)^2 (Yтеор – Y ср)^2 Y*Yтеор
1 2 4,68 -2,68 123,21 70,83 9,37
2 5 5,64 -0,64 65,61 55,64 28,20
3 10 8,51 1,49 9,61 21,07 85,10
4 12 10,42 1,58 1,21 7,17 125,07
5 13 11,38 1,62 0,01 2,96 147,92
6 14 13,29 0,71 0,81 0,04 186,08
7 15 15,20 -0,20 3,61 4,43 228,06
8 17 18,07 -1,07 15,21 24,73 307,24
9 21 20,94 0,06 62,41 61,50 439,78
10 22 22,85 -0,85 79,21 95,15 502,80
Сумма 131 131 0,00 360,90 343,52 2059,62
Средняя 13,1 13,1 0,00 36,09 34,35 205,96
Среднекв откл
6,01 5,86
R=205,96-13,1^26.01*5.96=0.976,
D=0.9762 = 0.952.
Проверку существенности коэффициента детерминации проведем с помощью F-критерия Фишера . Фактическое значение критерия определяется по формуле:
F=Dk-1*1-Dn-k
Табличное значение F-критерия при уровне значимости 0,05 и количестве степеней свободы(1; 9):
Fтабл1,8=5.32.
Фактическое значение F-критерия:
F=0.9521:1-0.95210-2=158,1.
Поскольку расчетное значение критерия Фишера больше, чем табличное, то с пероятностью 95% коэффициент детерминации является статистичеки значимым.
График линейной модели регрессии:
По общему виду коррелляционного поля для аппроксимации подходит логарифмическая функция. Оценим параметры логарифмической модели
yx=a0+a1lnx.
Для этого произведем замену:
z=lnx
и оценим параметры линейного уравнения
yx=a0+a1z.
Формулы для оценки параметров по методу наименьших квадратов:
a1=nzy-zynz2-(z)2,
a0=y-a1*z.
Заполним расчетную таблицу для оценки параметров.
Таблица 1
Расчетные данные до построения уравнения логарифмической регрессии
№ Y X Z Y2 Z2 YZ
1 2 1 0 4 0 0
2 5 2 0,69 25 0,48 3,47
3 10 5 1,61 100 2,59 16,09
4 12 7 1,95 144 3,79 23,35
5 13 8 2,08 169 4,32 27,03
6 14 10 2,30 196 5,30 32,24
7 15 12 2,48 225 6,17 37,27
8 17 15 2,71 289 7,33 46,04
9 21 18 2,89 441 8,35 60,70
10 22 20 3,00 484 8,97 65,91
Сумма 131 98 19,71 2077 47,32 312,09
Средняя 13,1 9,8 1,97 207,7 4,73 31,21

a1=10*312,09-1,97*13110*47,326-98^2=6,36
a0=13,1-6,36*1,97=0,56
Уравнение логарифмической регрессии:
yx=0,56+6,36lnx.
Найдем коэффициент детерминации:
D=R2,
где R - множественный коэффициент коррелляции между наблюдаемым и теоретическим значениями Y по формуле:
R=y*yтеорет-y*yтеоретσy*σyтеорет,
где σy,σyтеорет – среднеквадратические отклонения соответственно наблюдаемых и теоретических значений Y:
σy=(y-y)2n;
σyтеорет=(yтеорет-y)2n.
Заполним расчетную таблицу для определения коєффициента детерминации:
Таблица 2
Расчетные данные до определения коєффициента детерминации логарифмической регрессии
№ Y Оценка Y по уравнению модели
(Y теорет) Ошибка регрессии
(Y – Y теорет) (Y – Y ср)^2 (Yтеор – Y ср)^2 Y*Yтеор
1 2 0,56 1,44 123,21 157,18 1,13
2 5 4,97 0,03 65,61 66,06 24,86
3 10 10,80 -0,80 9,61 5,29 108,00
4 12 12,94 -0,94 1,21 0,03 155,29
5 13 13,79 -0,79 0,01 0,48 179,27
6 14 15,21 -1,21 0,81 4,45 212,93
7 15 16,37 -1,37 3,61 10,69 245,54
8 17 17,79 -0,79 15,21 21,98 302,41
9 21 18,95 2,05 62,41 34,20 397,91
10 22 19,62 2,38 79,21 42,49 431,61
Сумма 131 131 0,00 360,90 342,84 2058,94
Средняя 13,1 13,1 0 36,09 34,28 205,89
Среднекв откл
6,01 5,86
R=205,89*13,1*13,16,01*5,86=0,975,
D=0.9752 = 0.95.
Проверку существенности коэффициента детерминации проведем с помощью F-критерия Фишера