Имеются данные о цене товара А (в условных рублях) и объемах реализации данного товара (в тыс. штук).
Варианты цены Цена, у.р. Объем продаж, тыс. шт.
1 50,20 32,5
2 50,90 35
3 51,30 36,8
4 51,80 38,2
5 60,00 39,8
Задания:
Рассчитать параметры уравнения параболы второго порядка для характеристики зависимости между данными показателями (3 балла)
Определить индексы корреляции и детерминации (2 балла)
Найти среднюю ошибку аппроксимации (1 балл) и коэффициент эластичности (1 балл)
Оценить статистическую значимость полученного уравнения в целом с помощью F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05 (1 балл)
Сделать выводы
Решение
1) Обозначим признаки:
х – цена товара А (у.р.),
у – объем продаж (тыс. шт).
Построим график эмпирической зависимости у(х) (диаграмму рассеивания), для чего на координатную плоскость Оху наносим точки с координатами (хi,уi) (рис.1).
Рис.1 – Диаграмма рассеивания
По расположению табличных данных на координатной плоскости делаем вывод о параболической второго порядка зависимости между переменными у и х, т.е. ищем уравнение связи в виде .
Параметры уравнения связи определяем из так называемой системы нормальных уравнений, отвечающих требованию «метода наименьших квадратов» (МНК). Это требование можно записать как , т.е. требуется определить, при каких значениях a,b,c сумма квадратов отклонений y от будет минимальной.
Найдя частные производные указанной системы по a,b, и c и приравняв их к нулю, запишем систему уравнений, решение которой и дает параметры искомой функции, т.е. уравнения регрессии:
Для составления системы нормальных уравнений составим расчетную таблицу (табл.1).
Таблица 1 – Расчетная таблица для нахождения коэффициентов регрессии.
№ x y х2
х3 х4
ху
х2у у2
1 50,2 32,5 2520,04 126506 6350601,6 1631,5 81901,3 1056,25
2 50,9 35 2590,81 131872 6712296,5 1781,5 90678,35 1225
3 51,3 36,8 2631,69 135006 6925792,3 1887,84 96846,192 1354,24
4 51,8 38,2 2683,24 138992 7199776,9 1978,76 102499,77 1459,24
5 60 39,8 3600 216000 12960000 2388 143280 1584,04
∑ 264,2 182,3 14025,8 748376 40148467 9667,6 515205,61 6678,77
Средние 52,84 36,46 2805,16 149675 8029693,4 1933,52 103041,12 1335,754
По данным последней строки таблицы составляем систему нормальных уравнений
Решив ее, находим
a=-1058,6, b=39,292, с=-0,3497.
Тогда уравнение аппроксимирующей функции имеет вид:
.
Построим линию тренда на исходном поле корреляции (рис.2).
Рис.2 – Линия параболического тренда
2) Найдем общую дисперсию величины y и разложим ее на закономерную и случайную составляющие:
. Составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица для нахождения общей, факторной и случайной дисперсии.
№ x y 1333508890000
1 50,2 32,5 32,4462 0,00290 16,11071 0,0017
2 50,9 35 35,1993 0,03974 1,58927 0,0057
3 51,3 36,8 36,6187 0,03288 0,02518 0,0049
4 51,8 38,2 38,2355 0,00126 3,15232 0,0009
5 60 39,8 39,8003 0,00000 11,15775 0,0000
∑ 264,2 182,3 182,3 0,07677 32,03523 0,0132
Средние 52,84 36,46 36,46 0,01535 6,40705 0,00264
Получим
Делаем проверку:
.
Рассчитываем индекс корреляции:
.
Рассчитываем индекс детерминации:
.
3) Определяем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:
где y – заданные значения переменной, а – рассчитанные по уравнению связи
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
