Имеются данные за 12 месяцев года о рынке вторичного жилья (у) – стоимость квартиры (тыс. у.е.), x1 - размер жилой площади (м²), x2 - площадь кухни (м²). (таблица 6).
Таблица 6
Исходные данные
месяц у x1
x2
1 26,00 37,00 6,20
2 32,80 60,90 10,00
3 34,00 60,00 8,50
4 30,40 52,10 7,40
5 28,40 40,10 7,00
6 20,90 30,40 6,20
7 40,00 43,00 7,50
8 24,00 32,10 6,40
9 30,90 35,10 7,00
10 25,00 32,00 6,20
11 26,40 33,00 6,00
12 29,20 32,50 5,80
Требуется:
Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии.
Оценить силу связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
Оценить статистическую значимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью критериев Стьюдента и Фишера соответственно при уровне значимости а = 0,01.
Вычислить среднюю ошибку аппроксимации.
Составить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции.
Сделать выводы по полученным результатам.
Решение
Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии.
Для построения модели множественной регрессии проведем предварительные расчеты, которые представим в таблице 7.
Таблица 7
Результаты вычислений
месяц у x1
x2
y2
x12
x22
yx1
yx2
x1x2
1 26,00 37,00 6,20 676,00 1 369,00 38,44 962,00 161,20 229,40
2 32,80 60,90 10,00 1 075,84 3 708,81 100,00 1 997,52 328,00 609,00
3 34,00 60,00 8,50 1 156,00 3 600,00 72,25 2 040,00 289,00 510,00
4 30,40 52,10 7,40 924,16 2 714,41 54,76 1 583,84 224,96 385,54
5 28,40 40,10 7,00 806,56 1 608,01 49,00 1 138,84 198,80 280,70
6 20,90 30,40 6,20 436,81 924,16 38,44 635,36 129,58 188,48
7 40,00 43,00 7,50 1 600,00 1 849,00 56,25 1 720,00 300,00 322,50
8 24,00 32,10 6,40 576,00 1 030,41 40,96 770,40 153,60 205,44
9 30,90 35,10 7,00 954,81 1 232,01 49,00 1 084,59 216,30 245,70
10 25,00 32,00 6,20 625,00 1 024,00 38,44 800,00 155,00 198,40
11 26,40 33,00 6,00 696,96 1 089,00 36,00 871,20 158,40 198,00
12 29,20 32,50 5,80 852,64 1 056,25 33,64 949,00 169,36 188,50
сумма 348,00 488,20 84,20 10 380,78 21 205,06 607,18 14 552,75 2 484,20 3 561,66
среднее 29,00 40,68 7,02 865,07 1 767,09 50,60 1 212,73 207,02 296,81
Для определения параметров уравнения множественной линейной регрессии предварительно определим среднеквадратические отклонения признаков и коэффициенты парной корреляции.
Среднеквадратические отклонения:
σy=y2-y2=865,07-292=4,906;
σx1=x12-x12=1 767,09-40,682=10,581;
σx2=x22-x22=50,60-7,022=1,168.
Далее определим парные коэффициенты корреляции:
rx1y=yx1-x1×yσx1×σy=1 212,73-29×40,684,906×10,581=0,634;
rx2y=yx2-x2×yσx2×σy=207,02-29×7,024,906×1,168=0,617;
rx1x2=x1x2-x1×x2σx1×σx2=296,81-40,68×7,0210,581×1,168=0,918.
Определим параметры уравнения множественной линейной регрессии:
Далее определяем параметры линейной множественной регрессии:
b1=σyσx1×rx1y-rx2y×rx1x2rx1x22=4,90610,581×0,634-0,617×0,9180,9182=0,201;
b2=σyσx2×rx2y-rx1y×rx1x2rx1x22=4,9061,168×0,617-0,634×0,9180,9182=0,922;
a=y-b1×x1-b2×x2=29-0,201×40,68+0,922×7,02=14,371.
Таким образом, получим уравнение множественной регрессии:
y =14,371 + 0,201 ×x1 + 0,922×x2.
Уравнение регрессии показывает, что при увеличении общей площади квартиры на 1 м2 (при неизменном уровне площади кухни) стоимость квартиры увеличивается в среднем на 0,201 тыс
. у. е., а при увеличении площади кухни на 1 м2 (при неизменном уровне площади квартиры) стоимость квартиры увеличивается в среднем на 0,922 тыс. у. е.
Оценить силу связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
Рассчитаем коэффициенты эластичности:
Э1=b1×x1y=0,201×40,6829=0,281;
Э2=b2×x2y=0,922×7,0229=0,223.
Значения коэффициентов эластичности позволяют сделать вывод о большем влиянии на стоимость ремонта (у) фактора общей площади квартиры (x1), нежели площади кухни (x2). В частности, при изменении фактора x1 на 1% от своего среднего значения и при фиксированном воздействии на у другого фактора, включенного в уравнение регрессии, стоимость ремонта изменится на 0,281% от среднего значения.
Оценить статистическую значимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью критериев Стьюдента и Фишера соответственно при уровне значимости а = 0,01.
Для удобства расчетов строим вспомогательную таблицу 8, необходимую для расчетов фактических значений критериев.
Таблица 8
Вспомогательная таблица
месяц y
y-y2
x1-x12
x2-x22
x1-x1×x2-x2
y-y2
А
1 27,51 2,28 13,57 0,67 3,01 9,00 5,80
2 35,81 9,03 408,71 8,90 60,31 14,44 9,16
3 34,24 0,06 373,13 2,20 28,65 25,00 0,71
4 31,64 1,55 130,34 0,15 4,38 1,96 4,09
5 28,87 0,22 0,34 0,00 0,01 0,36 1,65
6 26,18 27,93 105,75 0,67 8,40 65,61 25,29
7 29,91 101,80 5,37 0,23 1,12 121,00 25,22
8 26,71 7,34 73,67 0,38 5,29 25,00 11,29
9 27,86 9,21 31,17 0,00 0,09 3,61 9,82
10 26,51 2,27 75,40 0,67 7,09 16,00 6,02
11 26,52 0,01 59,03 1,03 7,81 6,76 0,46
12 26,24 8,78 66,97 1,48 9,96 0,04 10,15
сумма 348,00 170,48 1 343,46 16,38 136,12 288,78 109,66
среднее 29,00 14,21 111,95 1,36 11,34 24,07 9,14
Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии, для чего на основании данных таблицы 7 и 8 произведем предварительные расчеты:
S2=y-y2n-m-1=170,4812-3-1=18,94.
Sa=1n+x12×x2-x22+x22×x1-x12--2x1x2×x1-x1x2-x2x2-x22×x1-x12-x1-x1x2-x22×S2=
=112+40,682×16,38+7,022×1 343,46--2×40,68×7,02×136,1216,38×1 343,46-136,122×18,94=9,291.
Sb1=S2x1-x12×(1-rx1x22)=18,941 343,46×(1-0,9182)=0,299.
Sb2=S2x2-x22×(1-rx1x22)=18,9416,38×(1-0,9182)=2,707.
Определим наблюдаемые значения t-критерия для коэффициентов регрессии:
ta=aSa=14,3719,291=1,547;
tb1 =b1 Sb1 =0,2010,299=0,671;
tb2=b2Sb2=0,9222,707=0,341.
Табличное значение t-статистики Стьюдента: t0,01;9=3,250.
Таким образом, поскольку ta=1,547 < t0,01;9=3,250, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (подтверждаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
