Груз массой 120 г подвешенный на пружине жесткостью 50 Н/м

Так как движение здесь одномерное, то для его описания достаточно вертикальной оси y. Пусть начало координатной оси совпадает с положением равновесия груза. Тогда уравнение затухающих вертикальных колебаний груза можно представить в виде:
yt=A0e-tcost+0.
Здесь At=A0e-t – амплитуда затухающих колебаний, A0 – значение амплитуды в начальный момент времени, 0 – начальная фаза, = 2 – круговая частота затухающих колебаний ( – частота колебаний).
= ?
T =?
= ?
Q = ?
yt – ?
Между круговой частотой колебаний и собственной круговой частотой 0 имеется связь:
2=02-2.
Здесь – коэффициент затухания;
Собственная круговая частота может быть определена по формуле:
02=km.
Тогда частота затухающих колебаний:
=02-2=km-2.
Полную энергию колебаний системы найдем как сумму потенциальной энергии упругой деформации пружины и кинетической энергии груза:
Wt=kyt22+mvt22.
Здесь скорость груза:
vt=yt=-A0e-tsint+0-A0e-tcost+0.
Будем считать, как это обычно принимают, что в системе затухание колебаний слабое ( << ), поэтому вторым слагаемым можно пренебречь . Подставим yt и vt в выражение для энергии колебаний:
Wt=kA02e-2tcos2t+0.2+m2A02e-2tsin2t+02.
Кроме того, при слабом затухании
m2 m02=k.
Тогда полная энергия колебаний:
Wt=kA02e-2t2.
Для начального момента времени:
W0=kA022.
Для момента времени t = t1:
Wt1=kA02e-2t12.
По условию
Wt1W0=0,6.
Подставим полученные выражения для энергии:
e-2t1=0,6;
-2t1=ln0,6;
=-ln0,62t1;
=-ln0,628=0,0319 (с-1).
Найдем A0:
At1=A0e-t1;
A0= At1et1;
A0= 0,007e0,03198=0,009 (м);
Найдем круговую частоту колебаний:
=km-2=500,12-0,03192=20,4 радс
Найдем частоту колебаний:
=2=20,4 2=3,25 с-1.
Найдем период:
T=1=1 3,25=0,308 с.
Время релаксации – это время, за которое амплитуда колеблющейся величины уменьшается в e раз