Груз D массой mD = 2 кг прикреплен к невесомому бруску, подвешенному к двум последовательно соединенным пружинам с коэффициентами жесткости с1 = 3 Н/см и с2 = 5 Н/см. Точка прикрепления груза D находится на равных расстояниях от двух включенных параллельно демпферов. В некоторый момент времени (t = 0) к грузу D подвешивают груз Е массой mE = 3кг.
В этот же момент времени начинает совершать движение по закону
ξ=Hsin(pt+Δ) (м)
точка прикрепления верхнего конца пружины с коэффициентом жесткости с1, (где Н = 0,03 м, р = 10,0 с-1, = 0,0)
Сила сопротивления движения груза, создаваемая каждым демпфером, пропорциональна скорости:
R=bt∙V (H)
где bt = 4 кг/с.
Направления осей х и совпадают.
1) Получить закон движения точки. 2) Нарисовать графики функций, определяющих чисто вынужденные колебания (хвынужд = хвынужд(t)) и полный закон движения (х = х(t))
Решение
Если груз прикреплен к двум пружинам с жесткостью c1 и c2, то их заменяют одной пружиной с эквивалентной жесткостью, зависящей от соединения пружин.
При последовательном соединении двух пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1, с2,
Сила упругости эквивалентной пружины с коэффициентом жесткости с будет равна
c=c1∙c2c1+c2=3∙53+5=1,875 Н/см=1,875∙10-2Н/м
В некоторый момент времени (t = 0) общий вес грузов
m = mD + mE = 2 + 3 = 5 кг.
Применим к решению задачи дифференциальные уравнения движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза D, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка В занимает свое среднее положение ( = 0).
Направим ось x вниз (в сторону движения груза D после присоединения груза Е).
В текущий момент времени t на груз действуют сила тяжести G=GD+GE, сила упругости F пружины и сила сопротивления R двух демпферов.
3295015641350027222946842370038696907150100031357779687410034124902280334002893793714766038171807503750339910619037300033420051809799033423962157144033413211000760
Восстанавливающая сила (сила упругости пружины):
F=c∙x+стD+E-
где стD+E- статическая деформация пружины (в состоянии покоя) =стD+E и Xi=0, то есть G – F = 0 и G-cстD+E=0, откуда стD+E=mD+mE∙gc; ξ=0,03sin10t – перемещение точки прикрепления верхнего конца пружины с коэффициентом жесткости с1.
Сила сопротивления, пропорциональная скорости движения точки (сила сопротивления демпфера): Rx=btV=btx, bt = 4 кг/с.
Движение грузов D и E определяется по следующему дифференциальному уравнению:
mx=Xi
где Xi – сумма проекций на ось х сил, действующих на грузы D и E (см
. рис); m = mD + mE.
Тогда
mx=G-F-2Rx=mg-c∙x+mgc--2btx
mx+2btx+cx=c
Разделим все члены уравнения на m и введем обозначения
k2=cm=1,875∙10-25=0,375∙10-2; k=0,061
h=cHm=1,875∙10-2∙0,035=1,125∙10-4; n=btm=45=0,8
n > к. Имеет место случай сильного сопротивления.
Приведем дифференциальное уравнение к следующему виду:
x+2nx+k2x=hsinpt
Решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения x1 соответствующего однородного уравнения и частного решения x2 данного неоднородного уравнения:
x=x1+x2.
Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения
x+2nx+k2x=0
с характеристическим уравнением
2+2n+k2=0
В этом случае обозначим d=D=n2-k2>0, и оба корня характеристического уравнения при n>k будут действительными и отрицательными
1=-n+d; 2=-n-d
Общее решение будет имеет вид
x1=С1e-n+d∙t+C2e-n-d∙t,
Найдем переменные С1 и С2
При t = 0
x0=стD+E=mD+mE∙gc=mgc=10k2x=V=0, при g = 10 м/с2
C1+C2=10k2d-nC1-d+nC2=0d+nC2d-n+C2=10k2C1=d+nC2d-nC2∙d+n+d-nd-n=10k2C1=27,96 м
C2=5∙d-nd∙k2=C1=5∙d+nd∙k2
Тогда общее решение имеет вид:
x1=5∙d+nd∙k2ed-n∙t+5∙d-nd∙k2e-d+n∙t,
Или
x1=7,1∙105e-9∙10-6∙t-3,9e-1,6∙t,
Частное решение дифференциального уравнения описывает вынужденные колебания груза
x2=Asinpt-,
где A=hk2-p2+4n2p2=1,125∙10-40,375∙10-22-102+4∙0,82∙102=9∙10-6м – амплитуда вынужденных колебаний;
k2=cm=1,875∙10-25=0,375∙10-2; h=cHm=1,875∙10-2∙0,035=1,125∙10-4; n=btm=45=0,8
=arctg2npk2-p2=arctg2∙0,8∙100,375∙10-22-102=arctg-0,16=351=6,1 рад – сдвиг фазы вынужденных колебаний относительно фазы кинематического возбуждения.
Тогда x=С1e-0,1∙t+C2e-1,5∙t+9∙10-6sin10t+6,1
Таким образом, уравнение движения грузов имеет вид:
x=7,1∙105e-9∙10-6∙t-3,9e-1,6∙t+9∙10-6sin10t+6,1,
График движения грузов (в масштабе 1:1000)
Уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
xвынужt=9∙10-6sin10∙t+0,61
График вынужденных колебаний (в масштабе 1:100)
Пусть на точку массы m, совершающую прямолинейное движение, действуют две силы (рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
