График плотности распределения случайной величины ξ изображен на рисунке
Требуется:
По графику плотности написать аналитическое выражение плотности.
Найти функцию распределения Fx, построить график этой функции.
Вычислить математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и среднее квадратическое отклонение σξ.
Определить вероятность Pξ<Mξ, Pξ≥Mξ+0,6, Pξ-Mξ≤σξ.
Интерпретировать заданные вероятности на графике плотности случайной величины ξ.
Решение
По графику плотности написать аналитическое выражение плотности.
Найдем уравнение прямой на интервале -211;0
x+211-211-0=y-22-1
x+211=-211y+411
211y=-x+211
y=-112x+1
Найдем уравнение прямой на интервале 0;411
x-00-411=y-11-3
-2x=-411y+411
411y=2x+411
y=112x+1
Плотность распределения имеет вид
px=0, x<-211,-112x+1, -211≤x<0,112x+1, 0≤x<411,0, x≥411
Найти функцию распределения Fx, построить график этой функции.
Используем формулу
Fx=-∞xpxdx
Если -∞<x≤-211, то
Fx=-∞x0dx=0
Если -211≤x<0, то
Fx=-∞-2110dx+-211x-112x+1dx=-114x2+x-211x=-114x2+x+114∙2112+211=-114x2+x+111+211=-114x2+x+311
Если 0≤x<411, то
Fx=-∞-2110dx+-2110-112x+1dx+0x112x+1dx=-114x2+x-2110+114x2+x0x=114∙2112+211+114x2+x=111+211+114x2+x=114x2+x+311
Если x≥411, то
Fx=-∞-2110dx+-2110-112x+1dx+0411112x+1dx+411∞0dx=-114x2+x-2110+114x2+x0411=114∙2112+211+1144112+411=111+211+411+411=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, x<-211,-114x2+x+311, -211≤x<0,114x2+x+311, 0≤x<411,1, x≥411
Вычислить математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и среднее квадратическое отклонение σξ.
Математическое ожидание
Mξ=-∞∞xpxdx=-∞-211x∙0dx+-2110x∙-112x+1dx+0411x∙112x+1dx+411∞x∙0dx==-2110-112x2+xdx+0411112x2+xdx=-116x3+x22-2110+116x3+x220411=116∙-2113--21122+116∙4113+41122=-13∙4121-2121+13∙32121+8121=-10363+56363=46363≈0,1267
Дисперсия
Dξ=-∞∞x2pxdx-Mξ2=-∞-211x2∙0dx+-2110x2∙-112x+1dx+0411x2∙112x+1dx+411∞x2∙0dx-463632==-2110-112x3+x2dx+0411112x3+x2dx-463632=-118x4+x33-2110+118x4+x330411-463632=118∙-2114--21133+118∙4114+41133-463632=21331+83993+321331+643993-463632=143993+1603993-2116131769=1743993-2116131769=3626131769≈0,0275
Среднее квадратическое отклонение
σξ=Dξ=0,0275≈0,1658
Определить вероятность Pξ<Mξ, Pξ≥Mξ+0,6, Pξ-Mξ≤σξ.
Pξ<Mξ= Pξ<46363=P-∞<ξ<46363=F46363-F-∞=114∙463632+46363+311-0=52911979+145363=531411979≈0,4436
ξ≥Mξ+0,6=Pξ≥46363+0,6=Pξ≥46363+35=Pξ≥13191815=1-P-∞<ξ<13191815=1-F13191815-F-∞=1-F13191815-F-∞=1-1-0=0
Pξ-Mξ≤σξ= Pξ-0,1267≤0,1658=P-0,0391≤ξ≤0,2925=F0,2925-F-0,0391=114∙0,29252+0,2925+311--114-0,03912-0,0391+311=114∙0,29252+0,2925+311+1140,03912+0,0391-311≈0,5711
Интерпретировать заданные вероятности на графике плотности случайной величины ξ.
Pξ<Mξ= Pξ<46363=0,4436
Вероятность численно равна площади выделенной серым цветом фигуры.
ξ≥Mξ+0,6=Pξ≥46363+0,6=Pξ≥46363+35=Pξ≥13191815=0
Вероятность численно равна площади выделенной красным цветом фигуры.
Pξ-Mξ≤σξ= Pξ-0,1267≤0,1658=0,5711
Вероятность численно равна площади выделенной серым цветом фигуры.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
