Fx=0 x&lt 0λe-λx x≥0 λ&gt 0. Записать закон распределения для λ=2 и вычислить MX и DX

Для λ=2 плотность распределения равна:
fx=0, x<02e-2x, x≥0 λ>0
Составим функцию распределения:
Fx=-∞xftdt
x≤0 => Fx=-∞x0dt=0
x>0 => Fx=-∞00dt+0x2e-2tdt=0x2e-2tdt=-e-2tx0=1-e-2x
Fx=0, x≤01-e-2x, x>0 λ>0
Математическое ожидание непрерывно распределенной случайной величины найдем по формуле:
MX=-∞∞x∙fxdx=0∞2x∙e-2xdx=limA→∞0A2x∙e-2xdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=2x dv=e-2xdx
du=2dx v=-12e-2x
=limA→∞-xe-2xA0+0Ae-2xdx=limA→∞-xe-2xA0-12e-2xA0=
=limA→∞-Ae-2A-12e-2A+12=12+limA→∞-Ae2A=Применим правило Лопиталя=
=12+limA→∞-(A)'e2A'=12+limA→∞-12e2A=12
Дисперсию непрерывно распределенной случайной величины найдем по формуле:
DX=-∞∞x2f(x)dx-MX2=0∞2x2∙e-2xdx-14=limA→∞0A2x2∙e-2xdx-14=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=2x2 dv=e-2xdx
du=4xdx v=-12e-2x
=limA→∞-x2e-2xA0+20Axe-2xdx-14=limA→∞-A2e2A+20Axe-2xdx-14=
=Применим правило Лопиталя два разаИнтеграл был найден ранее20Axe-2xdx=12=limA→∞-(A2)'e2A'+12-14=
=limA→∞-Ae2A+12-14=limA→∞-(A)'(e2A)'+12-14=limA→∞-12e2A+12-14=12-14=14
Данный вид распределения называется показательным и его характеристики можно было найти по формулам:
MX=1λ=12, DX=1λ2=14