Функция f(x) задана на интервале [-2 2) Разложить функцию в ряд Фурье в действительной форме

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном интервале с полупериодом l имеет вид:
fx ~ a02+n=1∞(ancosπnxl+bnsinπnxl)
a0=1l-llf(x)dx=12-20(2-x)dx+1202(-2-x)dx=x-x240-2+-x-x2420=
=2+1-2-1=0
an=1l-llfxcosπnxldx=12-202-xcosπnx2dx+1202-2-xcosπnx2dx=
Для каждого из интегралов применим формулу интегрирования по частям:
u1=2-x dv1=cosπnx2dx u2=-2-x dv2=cosπnx2dx
du1=-dx v1=2πn∙sinπnx2 du2=-dx v2=2πn∙sinπnx2
=(2-x)πn∙sinπnx20-2+1πn-20sinπnx2dx+(-2-x)πn∙sinπnx220+1πn-20sinπnx2dx=
=1πn-20sinπnx2dx+1πn-20sinπnx2dx=-2π2n2∙cosπnx20-2-2π2n2∙cosπnx220=
=-2π2n2+2π2n2∙cos(πn)-2π2n2∙cos(πn)+2π2n2=0
bn=1l-llf(x)sinπnxldx=12-202-xsinπnx2dx+1202-2-xsinπnx2dx=
Для каждого из интегралов применим формулу интегрирования по частям:
u1=2-x dv1=sinπnx2dx u2=-2-x dv2=sinπnx2dx
du1=-dx v1=-2πn∙cosπnx2 du2=-dx v2=-2πn∙cosπnx2
=-(2-x)πn∙cosπnx20-2-1πn-20cosπnx2dx-(-2-x)πncosπnx220-1πn02cosπnx2dx=
=-2πn+4πn∙cosπn-1πn-20cosπnx2dx+4πn∙cosπn-2πn-1πn02cosπnx2dx=
=-2πn+8πn∙cosπn-1πn-20cosπnx2dx-1πn02cosπnx2dx=
=-4πn+8∙(-1)nπn
Разложение в ряд Фурье имеет вид:
fx ~ n=1∞-4πn+8∙(-1)nπn∙sinπnx2
Согласно теореме Дирихле в точках непрерывности ряд сходится к значению функции.