Исходные данные
Рис. 18
Формы сечений: прямоугольное h/b=4, кольцевое d/D=0,8.
Характеристики материала балки: σт=190 МПа;E=190000 МПа.
Требуется
1. Построить эпюры изгибающих моментов Mz, My, крутящих моментов Mкр, нормальных сил N и перерезывающих сил Qy, Qz.
2. Выполнить проектировочный расчет – подобрать размеры сечений бруса: прямоугольного с заданным соотношением сторон, кольцевого и круглого, используя четвертую (энергетическую) теорию прочности, пренебрегая влиянием напряжений от нормальных и перерезывающих сил.
3. Для выбранных размеров сечений бруса определить максимальные величины напряжений от нормальных и перерезывающих сил, не учтенных в проектировочном расчете и сделать вывод об их влиянии на прочность бруса.
4. Определить смещение крайнего (свободного) сечения бруса в вертикальном или горизонтальном направлении (при вычислении перемещений пренебречь деформациями сдвига от перерезывающих сил и растяжения-сжатия от нормальных сил).
Принять коэффициент запаса прочности n=2.
Решение
Построение эпюр изгибающих моментов Mz, My, крутящих моментов Mкр, нормальных сил N и перерезывающих сил Qy, Qz
Выбираем скользящую систему координат (рис. 19).
Участок АВ 0≤x≤1,5
N=0;
Qy=-q∙x=-12∙x; QyA=0; QyB=-12∙1,5=-18 кН;
Qz=0;
Mкр=0;
Mz=-q∙x∙x2=-12∙x∙x2;
MzA=0;
Mzсер=-12∙0,75∙0,375=-3,375 кНм;
MzB=-12∙1,5∙0,75=-13,5 кНм;
My=0.
Участок BC 0≤x≤0,5
N=0;
Qy=-q∙l3=-12∙1,5=-18 кН;
Qz=P1=10 кН;
Mкр=q∙l3∙l32=12∙1,5∙1,52=13,5 кНм;
Mz=-q∙l3∙x=-12∙1,5∙x; MzB=0; MzC=-12∙1,5∙0,5=-9 кНм;
My=-P1∙x=-10∙x; MyB=0; MyC=-10∙0,5=-5 кНм.
Участок CD 0≤x≤1
N=P1=10 кН;
Qy=-q∙l3=-12∙1,5=-18 кН;
Qz=0;
Mкр=-q∙l3∙l2=-12∙1,5∙0,5=-9 кНм;
My=P1∙l2=10∙0,5=5 кНм;
Mz=M-q∙l3∙l32-q∙l3∙x=20-12∙1,5∙1,52-12∙1,5∙x;
MzC=20-12∙1,5∙1,52-12∙1,5∙0=6,5 кНм;
MzD=20-12∙1,5∙1,52-12∙1,5∙1=-11,5 кНм.
По полученным значениям строим эпюры внутренних усилий. Причем эпюры изгибающих моментов строим на сжатых волокнах (рис. 19).
Рис. 19
2. Подбор сечений по четвертой теории прочности
Согласно четвертой теории прочности в каждой точке сечения должно выполняться неравенство:
σ2+3τ2≤σ,
где σ- допускаемое напряжение:
σ=σтn=1902=95 МПа.
Исходя из этого, подберем сечения бруса.
Участок АВ (кольцевое сечение)
Опасное сечение: В.
Опасными точками в кольцевом сечении являются точки, в которых максимальны нормальные и касательные напряжения.
Максимальные нормальные напряжения:
σmax=Mz2+My2W,
где
W=πD3∙1-dD232=3,14∙D3∙1-0,8232=0,0353∙D3.
Следовательно:
σmax=13,52+02∙1030,0353∙D3=382,44∙103D3
Максимальные касательные напряжения:
τmax=MкрWp=0.
Подставляем полученные значения в условие прочности:
382,44∙103D32+3∙02≤95∙106,
D≥3382,44∙10395∙106=0,159 м.
Принимаем D=160 мм.
Участок BC (круглое сплошное сечение)
Опасное сечение: С.
Опасными точками в круглом сечении являются точки, в которых максимальны нормальные и касательные напряжения.
Максимальные нормальные напряжения:
σmax=Mz2+My2W,
где
W=πD332=3,14∙D332=0,0982∙D3.
Следовательно:
σmax=92+52∙1030,0982∙D3=104,84∙103D3
Максимальные касательные напряжения:
τmax=MкрWp,
где
Wp=πD316=0,196∙D3.
Следовательно:
τmax=13,5∙1030,196∙D3=68,88∙103D3.
Подставляем полученные значения в условие прочности:
104,84∙103D32+3∙68,88∙103D32≤95∙106,
D≥3158,82∙10395∙106=0,119 м.
Принимаем D=120 мм.
Прямоугольное сечение
Опасное сечение: D.
Опасными точками в прямоугольном сечении являются угловые точки и точки, которые являются серединами сторон прямоугольника
.
1) Наиболее опасная угловая точка
Нормальные напряжения:
σ=MyWy+MzWz,
где
Wy=bh26=16b36=2,667b3;
Wz=hb26=4b36=0,667b3.
Следовательно:
σ=5∙1032,667b3+11,5∙1030,667b3=19,12∙103b3
Касательные напряжения в угловых точках равны нулю:
τ=0.
Подставляем полученные значения в условие прочности:
19,12∙103b32+3∙02≤95∙106;
b≥319,12∙10395∙106=0,059 м.
2) Точки на серединах длинных сторон
Нормальные напряжения:
σ=MzWz=11,5∙1030,667b3=17,24∙103b3.
Касательные напряжения:
τ=Mкрαhb2,
где α- коэффициент, зависящий от соотношения сторон; для hb=4 α=0,282.
Следовательно:
τ=9∙1030,282∙4∙b3=7,98∙103b3.
Подставляем полученные значения в условие прочности:
17,24∙103b32+3∙7,98∙103b32≤95∙106,
b≥322,10∙10395∙106=0,062 м.
3) Точки на серединах коротких сторон
Нормальные напряжения:
σ=MyWy=5∙1032,667b3=1,88∙103b3.
Касательные напряжения:
τ=γMкрαhb2,
где γ- коэффициент, зависящий от соотношения сторон; для hb=4 γ=0,745.
Следовательно:
τ=0,745∙7,98∙103b3=5,95∙103b3.
Подставляем полученные значения в условие прочности:
1,88∙103b32+3∙5,95∙103b32≤95∙106,
b≥310,48∙10395∙106=0,048 м.
Окончательно принимаем hxb=260x65 мм.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
