Фирма рекламирует свою продукцию с использованием телевидения

Пусть необходимо заказать рекламу на телевидении х1 минут, на радио – х2 минут, в газете "Рекламный вестник" – х3 минут, в газете "Биржа" – х4 минут, тогда ограничения
по стоимости:2000х1+100х2+5х3+30х4<10000,
по времени:х1+х2<10,
по соотношению бюджетов:5х3+30х4<0,5х1,
по неотрицательности переменных:
х1>0,
х2>0,
х3>0,
х4>0.
Прибыль определяется как W(x)=100х1+600х2+2х3+8х4, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель задачи имеет вид:
W(x)=100х1+600х2+2х3+8х4 → max
2000х1+100х2+5х3+30х4<10000,
х1+х2<10,
-0,5х1+5х3+30х4<0
х1>0,
х2>0,
х3>0,
х4>0.
Двойственная задача имеет вид:
Z(y)=100y1+600y2 → min
200y1+y2-0,5у3>100,
100y1+y2>600,
5y1+5у3>2,
30y1+30у3>8,
у1>0,
у2>0.
W = 2x1+2x2 → min
x1+x2≥4, -x1+2x2≤8.
Необходимо найти минимальное значение целевой функции W = 2x1+2x2 при системе ограничений:
x1+x2≥4, (1)
-x1+2x2≤8, (2)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
Построим уравнение x1+x2 = 4 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0 . Находим x1 = 4. Соединяем точку (0;4) с (4;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 ∙ 0 + 1 ∙ 0 - 4 ≤ 0, т.е. x1+x2 - 4≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение -x1+2x2 = 8 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -8. Соединяем точку (0;4) с (-8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:-1 ∙ 0 + 2 ∙ 0 - 8 ≤ 0, т.е. -x1+2x2 - 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи W = 2x1+2x2 → min.Построим прямую, отвечающую значению функции W = 2x1+2x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации W(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2;2). Будем двигать эту прямую параллельным образом