Фирма рекламирует свою продукцию с использованием телевидения, радио, газет "Рекламный вестник" и "Биржа". Минута телевизионной рекламы стоит 1тыс рублей, минута радиорекламы 600 рублей, 1 кв. см рекламы в "Рекламном вестнике" – 2 рубля, в "Бирже" – 8 рублей.
Предшествующий опыт показывает, что минута телерекламы увеличивает сбыт продукции на 2 тыс. руб., 1 кв. см в "Рекламном вестнике" – на 5 руб., минута радиорекламы – на 1 тыс. руб., 1 кв. см в "Бирже" – на 30 руб. Месячный рекламный бюджет фирмы не может превосходить 10 тыс. руб. Телерадиокомпания выделяет на теле- и радиорекламу не более 10 минут в месяц. Руководство фирмы считает, что бюджет газетной рекламы не должен превосходить половины бюджета телерадиорекламы.
Определить рекламную политику фирмы на месяц, приносящую максимальную прибыль.
Решение
Пусть необходимо заказать рекламу на телевидении х1 минут, на радио – х2 минут, в газете "Рекламный вестник" – х3 минут, в газете "Биржа" – х4 минут, тогда ограничения
по стоимости:2000х1+100х2+5х3+30х4<10000,
по времени:х1+х2<10,
по соотношению бюджетов:5х3+30х4<0,5х1,
по неотрицательности переменных:
х1>0,
х2>0,
х3>0,
х4>0.
Прибыль определяется как W(x)=100х1+600х2+2х3+8х4, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель задачи имеет вид:
W(x)=100х1+600х2+2х3+8х4 → max
2000х1+100х2+5х3+30х4<10000,
х1+х2<10,
-0,5х1+5х3+30х4<0
х1>0,
х2>0,
х3>0,
х4>0.
Двойственная задача имеет вид:
Z(y)=100y1+600y2 → min
200y1+y2-0,5у3>100,
100y1+y2>600,
5y1+5у3>2,
30y1+30у3>8,
у1>0,
у2>0.
W = 2x1+2x2 → min
x1+x2≥4, -x1+2x2≤8.
Необходимо найти минимальное значение целевой функции W = 2x1+2x2 при системе ограничений:
x1+x2≥4, (1)
-x1+2x2≤8, (2)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
Построим уравнение x1+x2 = 4 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0
. Находим x1 = 4. Соединяем точку (0;4) с (4;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 ∙ 0 + 1 ∙ 0 - 4 ≤ 0, т.е. x1+x2 - 4≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение -x1+2x2 = 8 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -8. Соединяем точку (0;4) с (-8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:-1 ∙ 0 + 2 ∙ 0 - 8 ≤ 0, т.е. -x1+2x2 - 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи W = 2x1+2x2 → min.Построим прямую, отвечающую значению функции W = 2x1+2x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации W(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2;2). Будем двигать эту прямую параллельным образом
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
