Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X = (Xi) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Yi), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:
X = AX +Y
Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑aij ≤ 1.
Решение
Определим матрицу коэффициентов полных затрат B-1 с помощью формул обращения невырожденных матриц.
Коэффициент полных затрат (bij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.
а) Находим матрицу (E-A):
(E-A) = 0,95 -0,22 -0,26
-0,58 0,89 0
-0,17 -0,34 0,63
б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:Запишем матрицу в виде:
0,95 -0,22 -0,26
-0,58 0,89 0
-0,17 -0,34 0,63
Главный определитель∆=0.95∙(0.89∙0.63-(-0.34∙0))-(-0.58∙(-0.22∙0.63-(-0.34∙(-0.26))))+
(-0.17∙(-0.22∙0-0.89∙(-0.26)))=0.3617Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу B-1.
Транспонированная матрица.
BT= 0,95 -0,58 -0,17
-0,22 0,89 -0,34
-0,26 0 0,63
Найдем алгебраические дополнения матрицы BT.
BT1,1=(-1)1+1 0,89 -0,34
0 0,63
∆1,1=(0.89∙0.63-0∙(-0.34))=0.5607
BT1,2=(-1)1+2 -0,22 -0,34
-0,26 0,63
∆1,2=-(-0.22∙0.63-(-0.26∙(-0.34)))=0.227
BT1,3=(-1)1+3 -0,22 0,89
-0,26 0
∆1,3=(-0.22∙0-(-0.26∙0.89))=0.2314
BT2,1=(-1)2+1 -0,58 -0,17
0 0,63
∆2,1=-(-0.58∙0.63-0∙(-0.17))=0.3654
BT2,2=(-1)2+2 0,95 -0,17
-0,26 0,63
∆2,2=(0.95∙0.63-(-0.26∙(-0.17)))=0.5543
BT2,3=(-1)2+3 0,95 -0,58
-0,26 0
∆2,3=-(0.95∙0-(-0.26∙(-0.58)))=0.1508
BT3,1=(-1)3+1 -0,58 -0,17
0,89 -0,34
∆3,1=(-0.58∙(-0.34)-0.89∙(-0.17))=0.3485
BT3,2=(-1)3+2 0,95 -0,17
-0,22 -0,34
∆3,2=-(0.95∙(-0.34)-(-0.22∙(-0.17)))=0.3604
BT3,3=(-1)3+3 0,95 -0,58
-0,22 0,89
∆3,3=(0.95∙0.89-(-0.22∙(-0.58)))=0.7179
Обратная матрица.
0,561 0,227 0,231
0,365 0,554 0,151
0,349 0,36 0,718
B-1= 1,55 0,628 0,64
1,01 1,533 0,417
0,964 0,996 1,985
Составим систему балансовых уравнений:
x1-(0.05x1+0.22x2+0.26x3)=y1x2-(0.58x1+0.11x2+0x3)=y2x3-(0.17x1+0.34x2+0.37x3)=y3или0.95x1-0.22x2-0.26x3=y1-0.58x1+0.89x2+0x3=y2-0.17x1-0.34x2+0.63x3=y3Элементы каждого столбца bij показывают, сколько нужно затратить продукции каждой отрасли для производства только единицы конечного продукта j-й отрасли.
Найдем величины валовой продукции 3-х отраслей
X = (B-1∙Y) = 1,55 0,628 0,64
1,01 1,533 0,417
0,964 0,996 1,985
∙ 430
650
910
= 1656,842
1810,077
2868,396
Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой xij = aij ∙ Xj.
Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
