Экономист, изучая зависимость выработки Y (тыс. руб.) от объема X (тыс. руб.) товарооборота, обследовал по 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров в 5 районах. Полученные данные отражены в таблице 2.
Задание
Для каждого из районов (в каждой задаче) требуется:
найти коэффициенты корреляции между X и Y ;
построить регрессионные функции линейной зависимости Y = a + b * X фактора Y от фактора X и исследовать их на надежность по критерию Фишера при уровне значимости 0,1;
найти коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X ;
найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента при уровне значимости 0,05;
используя полученное уравнение линейной регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при X = 130 тыс. руб. и его доверительный интервал для уровня значимости 0,05.
Таблица 2
10
X
тыс. руб. Y
тыс. руб.
140 5,4
110 4,1
120 5,6
90 3,3
130 4,2
80 2,9
100 3,6
75 2,4
135 4,9
60 3,0
Решение
Для анализа полученной модели вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим :
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Следовательно, связь между признаком Y фактором X прямая, весьма высокая.
Рассчитаем параметры линейной парной регрессии от :
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты
140 5,4 756 19600 29,16 5,20133
110 4,1 451 12100 16,81 4,15022
120 5,6 672 14400 31,36 4,50059
90 3,3 297 8100 10,89 3,44948
130 4,2 546 16900 17,64 4,85096
80 2,9 232 6400 8,41 3,09912
100 3,6 360 10000 12,96 3,79985
75 2,4 180 5625 5,76 2,92393
135 4,9 661,5 18225 24,01 5,02614
60 3 180 3600 9 2,39838
Итого 1040 39,4 4335,5 114950 166 39,4
Средние значения 104 3,94 433,55 11495 16,6 3,94
26,0576 1,0375
679 1,0764
Найдем компоненты 1МНК :
Находим оценки параметров модели:
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличениемобъема товарооборота на 1 тыс.руб
. уровень выработки возрастает в среднем на 0,035 тыс.руб.
Коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации характеризует долю вариации признака Y, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 77,4% вариации уровня выработки объясняется вариацией объема товарооборота, а 22,6% зависит от вариации не учтенных в модели факторов .
Фактическое значение Fфакт определяется по формуле:
Табличное значение Fфакт по таблице значений F-критерия Фишера при α = 0,1, k1 = m = 1 и k2 = n – m – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 равно 3,46 (m – число параметров при переменной х).
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.
Найдем коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X
Увеличение объема товарооборота (от своего среднего значения) на 1% увеличивает в среднем уровень издержек обращения на 0,92%.
Оценку статистической значимости параметров регрессии икорреляции проведем с помощью статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.
Табличное значение критерия для числа степеней свободыи уровня значимости α = 0,05 составит tтабл = 2,31.
Далее рассчитываем по каждому из параметров его стандартные ошибки: , и .
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
