Экономист, изучая зависимость уровня Y (тыс. руб.) издержек oбpaщения от объема X (тыс. руб.) товарооборота, обследовал по 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров в 5 районах. Полученные данные отражены в таблице 1.
Варианты 1 - 5
Задание
Для каждого из районов (в каждой задаче) требуется:
найти коэффициенты корреляции между X и Y ;
построить регрессионные функции линейной зависимости Y = a + b * X фактора Y от фактора X и исследовать их на надежность по критерию Фишера при уровне значимости 0,05;
найти коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X ;
определить надежность коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента:
найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;
построить график регрессионной функции и диаграмму рассеяния;
используя полученное уравнение линейной регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при X = 130 тыс. руб.
Таблица 1
2
X
тыс. руб. Y
тыс. руб.
80 4,2
60 4,9
100 7,2
130 9,1
120 6,4
50 3,9
90 5,1
150 8,4
70 3,5
125 8,7
Решение
Для анализа полученной модели вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим :
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Следовательно, связь между признаком Y фактором X прямая, весьма высокая.
Рассчитаем параметры линейной парной регрессии от :
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты
80 4,2 336 6400 17,64 5,14456
60 4,9 294 3600 24,01 4,00692
100 7,2 720 10000 51,84 6,28221
130 9,1 1183 16900 82,81 7,98867
120 6,4 768 14400 40,96 7,41985
50 3,9 195 2500 15,21 3,4381
90 5,1 459 8100 26,01 5,71338
150 8,4 1260 22500 70,56 9,12631
70 3,5 245 4900 12,25 4,57574
125 8,7 1087,5 15625 75,69 7,70426
Итого 975 61,4 6547,5 104925 416,98 61,4
Средние значения 97,5 6,14 654,75 10492,5 41,698 6,14
31,4046 1,9996
986,25 3,9984
Найдем компоненты 1МНК :
Находим оценки параметров модели:
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии b = 0,057 позволяет сделать вывод, что с увеличениемобъема товарооборота на 1 тыс.руб
. уровень издержек обращения возрастает в среднем на 0,057 тыс.руб.
Коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации характеризует долю вариации признака Y, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 79,8% вариации уровня издержек обращения объясняется вариацией объема товарооборота, а 20,2% зависит от вариации не учтенных в модели факторов .
Фактическое значение Fфакт определяется по формуле:
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет Fтабл =5,32. Так как Fфакт =31,62 > Fтабл =5,32, то уравнение регрессии признается статистически значимым.
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.
Найдем коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X:
Увеличение объема товарооборота (от своего среднего значения) на 1% увеличивает в среднем издержки обращения на 0,90%.
Определить надежность коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента.
Табличное значение критерия для числа степеней свободыи уровня значимости α = 0,05 составит tтабл = 2,31.
Далее рассчитываем по каждому из параметров его стандартные ошибки: , и .
Фактическое значение статистик
, ,
Фактическое значение статистики превосходит табличноезначение:, поэтому параметр не случайно отличается от нуля, а статистически значим
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
