По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 7 3,8 9 26,6 63 34,2 14,44 81 49
2 7 4,1 14 28,7 98 57,4 16,81 196 49
3 7 4,3 16 30,1 112 68,8 18,49 256 49
4 7 4,1 17 28,7 119 69,7 16,81 289 49
5 8 4,6 17 36,8 136 78,2 21,16 289 64
6 8 4,7 18 37,6 144 84,6 22,09 324 64
7 9 5,3 20 47,7 180 106 28,09 400 81
8 9 5,5 20 49,5 180 110 30,25 400 81
9 11 6,9 21 75,9 231 144,9 47,61 441 121
10 10 6,8 21 68 210 142,8 46,24 441 100
11 11 7,1 22 78,1 242 156,2 50,41 484 121
12 11 7,5 23 82,5 253 172,5 56,25 529 121
13 12 7,8 25 93,6 300 195 60,84 625 144
14 12 7,6 27 91,2 324 205,2 57,76 729 144
15 12 7,9 29 94,8 348 229,1 62,41 841 144
16 13 8,1 30 105,3 390 243 65,61 900 169
17 13 8,5 32 110,5 416 272 72,25 1024 169
18 14 8,7 32 121,8 448 278,4 75,69 1024 196
19 14 9,6 33 134,4 462 316,8 92,16 1089 196
20 15 9,8 36 147 540 352,8 96,04 1296 225
Сумма 210 132,7 462 1488,8 5196 3317,6 951,41 11658 2336
Ср. знач. 10,5 6,635 23,1 74,44 259,8 165,88 47,571 582,9 116,8
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
2,559
1,883
7,021
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
0,990
0,960
0,954
Находим
1,120
0,063
1,604
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
0,824
0,174
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
0,708
0,140
Т.е . увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,708% или 0,140% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
0,990
0,960
0,954
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0,954 > 0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
0,885
0,373
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
–
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 0,990 0,960 =
0,990 1 0,954 0,960 0,954 1
= 1 · 1 · 1 + 0,960 · 0,990 · 0,954 + 0,990 · 0,954 · 0,960 –
– 0,960 · 1 · 0,960 – 0,990 · 0,990 · 1 – 1 · 0,954 · 0,954 = 0,0015
r11 = 1 0,954 = 1 – 0,9542 = 0,0903
0,954 1
Коэффициент множественной корреляции
0,991.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 7 3,8 9 6,431 0,324
2 7 4,1 14 7,084 0,007
3 7 4,3 16 7,435 0,189
4 7 4,1 17 7,274 0,075
5 8 4,6 17 7,834 0,028
6 8 4,7 18 8,010 0,000
7 9 5,3 20 8,808 0,037
8 9 5,5 20 9,032 0,001
9 11 6,9 21 10,664 0,113
10 10 6,8 21 10,552 0,304
11 11 7,1 22 10,951 0,002
12 11 7,5 23 11,462 0,214
13 12 7,8 25 11,925 0,006
14 12 7,6 27 11,828 0,030
15 12 7,9 29 12,291 0,085
16 13 8,1 30 12,578 0,178
17 13 8,5 32 13,153 0,023
18 14 8,7 32 13,377 0,388
19 14 9,6 33 14,448 0,201
20 15 9,8 36 14,863 0,019
Сумма 210 132,7 462
2,223
Ср