Двумерная случайная величина (X Y) равномерно распределена в треугольнике ABC с вершинами

Построим треугольник и опишем его в виде системы неравенств:
AB: x+11+1=y-2 2y=-2x-2 y=-x-1 x=-y-1
AC: x+11+1=y4 4x+4=2y y=2x+2 x=12y-1
BC: x=1
D: -1≤x≤1-x-1≤y≤2x+2
D: -2≤y≤0-y-1≤x≤1 ∪ 0≤y≤412y-1≤x≤1
Плотность распределения:
ρx,y=C, x,y∈D0, x,y∉D
Константу C найдем, исходя из того, что:
-∞∞ρx,ydxdy=1
-∞∞ρx,ydxdy=C-11dx-x-12x+2dy=C-11(2x+2-(-x-1))dx=
=C-113x+3dx=C32x2+3x1-1=C32+3-32+3=6C
6C=1 => C=16
ρx,y=16, x,y∈D0, x,y∉D
Найдем плотности распределения компонент:
ρ1x=-∞∞ρx,ydy=16-x-12x+2dy=162x+2--x-1=12x+12, x∈-1;1
ρ2y=-∞∞ρx,ydx=16-y-11dx=161+y+1=16y+13 y∈-2;0
ρ2y=-∞∞ρx,ydx=1612y-11dx=161-12y+1=-112y+13 y∈[0;4]
Математические ожидания:
mx=-11x∙12x+12dx=-1112x2+12xdx=16x3+14x21-1=16+14+16-14=13
my=-20y∙16y+13dy+04y∙-112y+13dy=
=-2016y2+13ydy+04-112y2+13ydy=
=118y3+16y20-2+-136y3+16y240=49-23-169+83=23
Дисперсии:
Dx=-11x2∙12x+12dx-19=-1112x3+12x2dx-19=18x4+16x31-1-19=
=18+16-18+16-19=29
σx=Dx=23
my=-20y2∙16y+13dy+04y2∙-112y+13dy-49=
=-2016y3+13y2dy+04-112y3+13y2dy-49=
=124y4+19y30-2+-148y4+19y340-49=-23+89-163+649-49=149
σy=Dy=143
Ковариация:
covX,Y=16-11dx-x-12x+2x-13y-23dy=
=16-11dx-x-12x+2xy-13y-23x+29dy=16-11xy22-16y2-23xy+29y2x+2-x-1dx=
=16-11x2x+222-162x+22-23x2x+2+292x+2-x(-x-1)22-16-x-12-23x(-x-1)+29-x-1dx=
=16-112x3+4x2+2x-23x2-43x-23-4x23-4x3+4x9+49-x33-x2-x2+16x2+13x+16-2x23-2x3+2x9+29dx=
=136-11(10x3+3x2-5x+1)dx=13652x4+x3-52x2+x1-1=
=136∙52+1-52+1-52+1-52+1=19
Коэффициент корреляции:
rxy=covX,Yσx∙σy=19∙23∙143=128