Логотип Автор24реферат
Задать вопрос
%
уникальность
не проверялась
Решение задач на тему:

Двумерная случайная величина (X Y) имеет совместную плотность f(x,у)

уникальность
не проверялась
Аа
1864 символов
Категория
Теория вероятностей
Решение задач
Двумерная случайная величина (X Y) имеет совместную плотность f(x,у) .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет совместную плотность f(x,y). Найти значение параметра a, маргинальные плотности fX(x), fY(y), математические ожидания MX,M(Y), дисперсии DX,D(Y), коэффициент корреляции rXY. Являются ли случайные величины X и Y независимыми? fx,y=a∙e-(5x+2y), x>0,y>00, иначе

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть
Значение параметра a найдем, исходя из того, что:
-∞∞fx,ydxdy=1
-∞∞f(x,y)dxdy=a0∞e-5xdx0∞e-2ydy=-a20∞e-5xe-2y∞0dx=
=a20∞e-5xdx=-a10e-5x∞0=a10 a10=1 a=10
fx,y=10e-(5x+2y), x>0,y>00, иначе
Найдем плотности компонентов:
fXx=-∞∞fx,ydy=0∞10e-5x+2ydy=10e-5x∙0∞e-2ydy=-5e-5xe-2y∞0=
=5e-5x
fYy=-∞∞fx,ydx=0∞10e-5x+2ydx=10e-2y∙0∞e-5xdx=-2e-2ye-5x∞0=
=2e-2y
Найдем математические ожидания:
MX=-∞∞x∙fXxdx=50∞xe-5xdx=
Интегрируем по частям:
u=x dv=e-5xdx
du=dx v=-15e-5x
=-xe-5x∞0+0∞e-5xdx=Учитываем, что: limx→∞xe5x=0=0∞e-5xdx=-15e-5x∞0=15
MY=-∞∞y∙fYydy=20∞ye-2ydy=
Интегрируем по частям:
u=y dv=e-2ydy
du=dy v=-12e-2y
=-ye-2y∞0+0∞e-2ydy=Учитываем, что: limy→∞ye2y=0=0∞e-2ydy=-12e-2y∞0=12
Дисперсии:
DX=-∞∞x2∙fXxdx-M2X=50∞x2e-5xdx-125=
По частям:
u=x2 dv=e-5xdx
du=2xdx v=-15e-5x
=-x2e-5x∞0+20∞xe-5xdx-125=Учитываем, что: limx→∞x2e5x=0=20∞xe-5xdx-125=
=Используем ранее найденное значение:MX=50∞xe-5xdx=15 => 0∞xe-5xdx=125 =225-125=125
DY=-∞∞y2∙fYydy-M2Y=20∞y2e-2ydy-14=
По частям:
u=y2 dv=e-2ydy
du=2ydy v=-12e-2y
=-y2e-2y∞0+20∞ye-2ydy-14=Учитываем, что: limy→∞y2e2y=0=20∞ye-2ydy-14=
=Используем ранее найденное значение:MY=20∞ye-2ydy=12 =12-14=14
covX,Y=MXY-MX∙MY=-∞∞x-MXy-MYfx,ydxdy=
=100∞x-15e-5xdx0∞y-12e-2ydy=0
Так как:
-∞∞y-12e-2ydy=u=y-12 dv=e-2ydydu=dy v=-12e-2y=
=-12y-12e-2y∞0+120∞e-2ydy=-14-14e-2y∞0=-14+14=0
rXY=covX,YDX∙DY=0
Случайные величины являются независимыми, так как выполняется равенство:
fXx∙fYy=5e-5x∙2e-2y=10e-5x∙e-2y=f(x,y)
50% задачи недоступно для прочтения
Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение
Получить задачу
Больше решений задач по теории вероятности:
Все Решенные задачи по теории вероятности
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты