Двумерная случайная величина (X Y) имеет совместную плотность f(x,у)

Значение параметра a найдем, исходя из того, что:
-∞∞fx,ydxdy=1
-∞∞f(x,y)dxdy=a0∞e-5xdx0∞e-2ydy=-a20∞e-5xe-2y∞0dx=
=a20∞e-5xdx=-a10e-5x∞0=a10 a10=1 a=10
fx,y=10e-(5x+2y), x>0,y>00, иначе
Найдем плотности компонентов:
fXx=-∞∞fx,ydy=0∞10e-5x+2ydy=10e-5x∙0∞e-2ydy=-5e-5xe-2y∞0=
=5e-5x
fYy=-∞∞fx,ydx=0∞10e-5x+2ydx=10e-2y∙0∞e-5xdx=-2e-2ye-5x∞0=
=2e-2y
Найдем математические ожидания:
MX=-∞∞x∙fXxdx=50∞xe-5xdx=
Интегрируем по частям:
u=x dv=e-5xdx
du=dx v=-15e-5x
=-xe-5x∞0+0∞e-5xdx=Учитываем, что: limx→∞xe5x=0=0∞e-5xdx=-15e-5x∞0=15
MY=-∞∞y∙fYydy=20∞ye-2ydy=
Интегрируем по частям:
u=y dv=e-2ydy
du=dy v=-12e-2y
=-ye-2y∞0+0∞e-2ydy=Учитываем, что: limy→∞ye2y=0=0∞e-2ydy=-12e-2y∞0=12
Дисперсии:
DX=-∞∞x2∙fXxdx-M2X=50∞x2e-5xdx-125=
По частям:
u=x2 dv=e-5xdx
du=2xdx v=-15e-5x
=-x2e-5x∞0+20∞xe-5xdx-125=Учитываем, что: limx→∞x2e5x=0=20∞xe-5xdx-125=
=Используем ранее найденное значение:MX=50∞xe-5xdx=15 => 0∞xe-5xdx=125 =225-125=125
DY=-∞∞y2∙fYydy-M2Y=20∞y2e-2ydy-14=
По частям:
u=y2 dv=e-2ydy
du=2ydy v=-12e-2y
=-y2e-2y∞0+20∞ye-2ydy-14=Учитываем, что: limy→∞y2e2y=0=20∞ye-2ydy-14=
=Используем ранее найденное значение:MY=20∞ye-2ydy=12 =12-14=14
covX,Y=MXY-MX∙MY=-∞∞x-MXy-MYfx,ydxdy=
=100∞x-15e-5xdx0∞y-12e-2ydy=0
Так как:
-∞∞y-12e-2ydy=u=y-12 dv=e-2ydydu=dy v=-12e-2y=
=-12y-12e-2y∞0+120∞e-2ydy=-14-14e-2y∞0=-14+14=0
rXY=covX,YDX∙DY=0
Случайные величины являются независимыми, так как выполняется равенство:
fXx∙fYy=5e-5x∙2e-2y=10e-5x∙e-2y=f(x,y)