Две равномерно заряженные концентрические сферы с радиусами R1 и R2 имеют заряды соответственно q1 и q2.
1. Определить напряженность и потенциал, создаваемые заряженными сферами в точках a, b и c, находящимися на расстоянии соответственно r1, r2 и r3 от центра сфер.
2. Построить график зависимости напряженности от расстояния E(r) , взяв за начало координат центр сфер.
3. Построить график зависимости потенциала от расстояния (r) , приняв за нулевой потенциал точку, находящуюся очень далеко от центра сфер.
4. Определить скорость v частицы массой m с зарядом q, если она начинает движение со скоростью v0 из точки, лежащей на внешней сфере в точку на внутренней поверхности сферы
Дано:
q1 = -210-10 Кл
q2 = 110-10 Кл
R1 = 2 см
R2 = 5см
r1 = 1,5 см = 0,015 м
r2 = 4см = 0,04 м
r3 = 6см= 0,06 м
q = 1,610-19 Кл
m = 3,3410-27
v0 = 1106 м/с
Решение
F – ?
1. Определить напряженность и потенциал
Определение напряженности
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен отношению сумарного заряда, заключенного внутри этой поверхности, и электрической постоянной.
SEdS=qi0.
Здесь 0 = 8,8510-12 Ф/м - диэлектрическая постоянная,
Для концентрических заряженных сфер поле должно иметь сферическую симметрию, поэтому выберем поверхность интегрирования в виде сферы радиуса r, концентрическую проводящим сферам. Вектор напряженности, в силу симметрии, должен располагаться нормально к поверхности выбранной таким образом сферы интегрирования в любой ее точке. Теорему Гауса, для данного случая, можно записать в виде:
SEdS=qi0
Здесь E – проекция вектора напряженности на внешнюю нормаль к элементарной поверхности dS: если вектор напряженности и внешняя нормаль имеют одинаковое направление, то E имеет положительное значение, если противоположны, то отрицательное.
Кроме того, в силу симметрии, модуль вектора напряженности на поверхности интегрирования должен иметь одинаковое значение, так как определяется на одинаковом расстоянии от центра, поэтому интеграл можно представить в виде:
SEdS=ESdS=ES=E4r2
Таким образом:
E4r2=qi0.
На рисунке пунктирной линией указано положение сферической поверхности интегрирования для трех точек a, b, c, заданных в условии. Соответственно можно выделить три зоны, в зависимости от расстояния до центра, в которых напряженность поля рассчитывается по-разному, так как внутрь сферы интегрирования попадает разный заряд.
Зона a) 0<r < R1
Er4r2=00;
Er=0.
Следовательно
Er1=0.
Зона b) R1 r < R2
Er4r2=q10;
Er=-q140r22.
Er=-210-1048,8510-121r2=-1,8r2 Вм.
На расстоянии от центра r = r2
Er2=-1,8(0,04)2=-1125 (Вм).
Зона с) r R2
Er4r2=q1+q20;
Er=110-10-210-1040r2=-0,9r2 Вм.
На расстоянии от центра r = r3
Er3=-0,90,062=-250 Вм.
Определение потенциала
Чтобы найти разность потенциалов (r), воспользуемся формулой связи потенциала и напряженности:
E=-grad .
В данной задаче вектор напряженности в некоторой точке коллинеарен радиус-вектору, проведенному в эту точку из общего центра сфер, поэтому:
E=-ddr.
Разделим переменные:
d=-Edr;
Найдем разность потенциалов между двумя точками, лежащими вдоль радиуса:
12d=-12Edr.
Проведем расчет потенциала для выделенных зон.
Зона с) r R2
Для того, чтобы найти потенциал в точке r R2 выполним интегрирование от r до бесконечности и учтем, что на бесконечности потенциал принят равным нулю:
(r)0d=-r∞Edr.
-(r)=-r∞-0,9r2dr.
r=0,91∞-1r
r=-0,9r.
Потенциал в точке r3:
r3=-0,90,06=-15 (В).
Потенциал на сфере R2:
R2=-0,90,05=-18 (В).
Зона b) R1 r < R2
Зная потенциал на сфере R2, найдем потенциал некоторой точки
. расположенной на расстоянии r от центра, но внутри данной зоны
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
