Две независимые случайные величины заданы законом распределения

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также учитывая, что X и Y – независимые случайные величины, имеем:
Z=0,5X-2Y+3=0,5X-Y+3
1) Найти числовые характеристики M(X) и M(Y);
MX=-1∙0,4+3∙0,5+5∙0,1=-0,4+1,5+0,5=1,6
MY=2∙0,3+3∙0,6+5∙0,1=0,6+1,8+0,5=2,9
Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий слагаемых:
.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
M(C) =C
MZ=M0,5X-Y+3=M0,5X-MY+M3=0,5MX-MY+3=
=0,5∙1,6-2,9+3=0,8-2,9+3=3,8-2,9=0,9
2) дисперсию D(X), D(Y), D(Z);
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания
.
MX2=12∙0,4+32∙0,5+52∙0,1=1∙0,4+9∙0,5+25∙0,1=0,4+4,5+2,5=7,4;
DX=7,4-1,62=7,4-2,56=4,84
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Y и квадратом ее математического ожидания
DY=MY2-[M(Y)]2
MY2=22∙0,3+32∙0,6+52∙0,1=4∙0,3+9∙0,6+25∙0,1=1,2+5,4+2,5=9,1;
DY=9,1-2,92=82,81-8,41=5,6
Z=0,5X-Y+3
Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин:
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(C) = 0
DZ=D0,5X-Y+3=D0,5X+DY+D3=0,52DX+DY+0=
=0,25∙4,84+5,6=1,21+5,6=6,81
3) среднее квадратическое отклонение σ (X), σZи σ (Y);
Среднем квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии
σX=4,84≈2,2;σY=5,6≈2,36;σZ=6,81≈2,61
Ответ: MZ=0,9; DZ=6,81;σZ=2,61