Доказать существование и единственность действительного корня нелинейного уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Доказать существование и единственность действительного корня нелинейного уравнения

Доказать существование и единственность действительного корня нелинейного уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Доказать существование и единственность действительного корня нелинейного уравнения. Локализовать корень уравнения таблично. С точностью до δ=0,01 приближенно вычислить корень методом половинного деления и δ=0,001 методом хорд (все вычисления проводить с четырьмя знаками после запятой) x3-3x2+15x-4=0

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Определим интервалы возрастания и убывания функции fx=x3-3x2+15x-4:
Производная функции f'x=3x2-6x+15
f'x=0
3x2-6x+15=0
x2-2x+5=0
x1,2=2±4-4*52=2±-162
Уравнение не имеет корней, f'x>0 на всей числовой оси, значит функция fx=x3-3x2+15x-4 возрастает на всей числовой оси, следовательно, корень уравнения существует и он один.
Локализуем корень таблично:
x
-∞
0 1 +∞
y
- - + +
Отрезок локализации корня [0;1]
Вычислим корень методом половинного деления:
Функция y=x3-3x2+15x-4 непрерывна на отрезке [0;1] и принимает на его концах значения разных знаков:
y0=-4,
y1=9.
Первая итерация:
Найдем середину x1=0,5 отрезка [0;1] и вычислим значение функции y=x3-3x2+15x-4 в этой точке: y0,5=2,875.
δ=1-02=0,5>0,01.
a1,b1=[0;0,5].
Остальные итерации представлены в таблице:
№ a b x F(a) F(b) F(x) ∆
0 0 1 0,5 -4 9 2,875 0,5
1 0 0,5 0,25 -4 2,875 -0,4219 0,25
2 0,25 0,5 0,375 -0,4219 2,875 1,2559 0,125
3 0,25 0,375 0,3125 -0,4219 1,2559 0,4251 0,0625
4 0,25 0,3125 0,2813 -0,4219 0,425 0,0037 0,0313
5 0,25 0,2813 0,2656 -0,4219 0,0037 -0,2086 0,0156
6 0,265625 0,2813 0,2734 -0,2086 0,0037 -0,1023 0,0078
Требуемая точность достигнута:
x=0,27±0,01.
Вычислим корень методом хорд:
Итерационная формула метода хорд:
xn+1=xn-fxnfxn-fcxn-c,
где c – один из концов отрезка [a; b], удовлетворяющий условию: fc*f''c>0.
fx=x3-3x2+15x-4
f'x=3x2-6x+15
f''x=6x-6
Вторая производная обращается в ноль на одном из концов отрезка локализации, сузим отрезок до [0;0,5]
f0*f''0>0, значит с=0.
x0=0,5.
Для вычислений применяем формулу:
xk+1=xk-fxk*(xk-a)fxk-fa
Итерации представлены в таблице:
k
xk
fxk
xk+1
δ=xk+1-xk
0 0,5 2,875 0,2909 0,2091
1 0,29091 0,1344 0,2815 0,0095
2 0,28145 0,0065 0,281 0,0005
Указанная точность достигнута: x=0,281±0,001
3) Локализовать корень уравнения графически

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу