Доказать что равномерно непрерывная на ограниченном промежутке функция ограничена на этом промежутке

Пусть f не ограничена в окрестности x0, тогда при
ε=1 ∀δ>0
в δ/2 окрестности точки x0 найдутся точки x1 и x2 такие, что
fx1-fx2>1,
хотя x1-x2<δ . Действительно, если выбрать х1 произвольной, то, в силу неограниченности функции f, найдётся такая точка х2, что
fx2>1+fx1.
Это означает, что данная равномерно непрерывная функция ограничена на этом промежутке.