Для заданной случайной величины Х:
1) составить закон распределения, функцию распределения F(x) и построить ее график;
2) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение;
3) определить P(α≤X≤β), M(Y) и D(Y) если Y=kX+b (α, β, k,b – данные числа).
3. Прибор состоит из четырех узлов. Надежность каждого узла равна 0,3. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Случайная величина X – число вышедших из строя узлов. α = 1; β = 3; k = 4; b = 1.
Решение
1.
Найдем значения случайной величины X – числа вышедших из строя узлов, используя формулу Бернулли:
Pnx=m=Cnmpmqn-m, где q=1-p.
0 узлов: P4x=0=C400,700,34=4!0!∙4!∙1∙0,0081=0,0081;
1 узел: P4x=1=C410,710,33=4!1!∙3!∙0,7∙0,027=0,076;
2 узла: P4x=2=C420,720,32=4!2!∙2!∙0,49∙0,09=0,2646;
3 узла: P4x=3=C430,730,31=4!3!∙1!∙0,343∙0,3=0,4116;
4 узла: P4x=4=C440,740,30=4!4!∙0!∙0,2401∙1=0,2401.
Условие нормировки выполняется верно:
i=15pi=1, 0,0081+0,076+0,2646+0,4116+0,2401=1.
Таким образом, получим ряд распределения случайной величины X:
xi
0 1 2 3 4
pi
0,0081 0,076 0,2646 0,4116 0,2401
Построим многоугольник распределения:
Функция распределения X:
Если x≤0, то Fx=0
.
Если 0<x≤1, то Fx=0,0081.
Если 1<x≤2, то Fx=0,0081+0,076=0,0837.
Если 2<x≤3, то Fx=0,0837+0,2646=0,3483.
Если 3<x≤4, то Fx=0,3483+0,4116=0,7599.
Если x>4, то Fx=0,7599+0,2401=1.
Получим искомую функцию распределения:
F(x)=0,при x≤0,0,0081,при 0<x≤1,0,0837,при 1<x≤2,0,3483,при 2<x≤3,0,7599,при 3<x≤4,1,при x>4.
Построим полученную функцию распределения (ступенчатый вид):
2.
Найти все необходимые точечные характеристики.
Математическое ожидание дискретной случайной величины X:
MX=i=15xi∙pi;
MX=0+0,0756+0,5292+1,2348+0,9604=2,8.
Второй начальный момент X:
MX2=i=15xi2pi;
MX2=0+0,0756+1,0584+3,7044+3,8416=8,68.
Дисперсия X:
DX=MX2-MX2;
DX=8,68-2,82≈0,840.
Среднее квадратическое отклонение X:
σX=DX≈0,917.
3.
Найдем закон распределения случайной величины Y=4X+1.
Составим расчетную таблицу:
x
y
p
0 4∙0+1=1
0,0081
1 4∙1+1=5
0,0756
2 4∙2+1=9
0,2646
3 4∙3+1=13
0,4116
4 4∙4+1=17
0,2401
Тогда получим закон распределения дискретной случайной величины Y:
yi
1 5 9 13 17
pi
0,0081 0,076 0,2646 0,4116 0,2401
Условие нормировки выполняется верно:
i=15pi=1, 0,0081+0,076+0,2646+0,4116+0,2401=1.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Y:
MY=j=15yj∙pj;
MY=0,008+0,378+2,381+5,351+4,082=12,2.
Второй начальный момент Y:
MY2=j=15yj2pj=0,008+1,890+21,433+69,560+69,389≈162,28.
Дисперсия Y:
DY=MY2-MY2=162,28-12,22≈13,44.
Среднее квадратическое отклонение y:
σy=DY≈3,666.
Или решим вторым способом.
По свойствам математического ожидания получим:
M4X+1=M4X+M1=4MX+1=12,2.
По свойствам дисперсии получим:
D4X+1=D4X+D1=16DX+0=13,44.
Определим P1≤x≤3:
P1≤x≤3=F3-F1=0,3483-0,0081=0,3402.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
