Для заданной схемы балки необходимо выполнить следующее

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
Определение реакций опор.
По уравнениям статического равновесия балки находим опорные силы реакций:
MA=0;-qa+b+ca+b+c2+Pa-m+RB(a+b+c)=0
RB=qa+b+ca+b+c2-Pa+ma+b+c=15⋅2,8+1,2+1,6⋅2,8+1,2+1,62-18⋅2,8+182,8+1,2+1,6=36,21 кН
MB=0;qa+b+ca+b+c2-Pb+c-m-RA(a+b+c)=0
RA=qa+b+ca+b+c2-Pb+c-ma+b+c=152,8+1,2+1,62,8+1,2+1,62-18⋅1,2+1,6-182,8+1,2+1,6=29,79 кН
Проверка:
FY=0; RA-qa+b+c+P+RB=0;
29,79-15⋅2,8+1,2+1,6+18+36,21=0;
0=0;
Реакции определены верно.
Изгибающие моменты и поперечные силы.
Выполним характерные сечения балки (I, II, III) и запишем общие и численные выражения для изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях.
Сечение I 0≤z1<a
Q1=-RA+qz1;
M1=RAz1-qz1⋅z12
Численные значения в точках z1=0 и z1=a=2,8 м
Q10=-RA=-29,79 кН;Q12,8=-RA+qa=-29,79+15⋅2,8=12,21 кН
M10=0;M12,8=RAa-qa⋅a2=29,79⋅2,8-15⋅2,822=24,61 кН⋅м
Найдем точку z1, в которой значение Q10=0:
RA-qz1=0;z1=RAq=29,7915=1,99 м
M11,99=RAz1-qz1⋅z12=29,79⋅1,99-15⋅1,9922=29,58 кН⋅м
Сечение II 0≤z2<b
Q2=-RA+qa+z2-P;
M2=RAa+z2-qa+z2⋅a+z22-Pz2
Численные значения в точках z2=0 и z2=b=1,2 м
Q20=-RA+qa-P=-29,79+15⋅2,8-18=-5,79 кН;
Q21,2=-RA+qa+b-P=-29,79+15⋅2,8+1,2-18=12,21 кН
M20=RAa-qa⋅a2=29,79⋅2,8-15⋅2,822=24,61 кН⋅м;
M21,2=RAa+b-qa+b⋅a+b2+Pb=29,79⋅2,8+1,2-15⋅2,8+1,2⋅2,8+1,22+18⋅1,2=20,76 кН⋅м
Найдем точку z2, в которой значение Q20=0:
-RA+qa+z2-P=0;
z2=RA+Pq-a=29,79+1815-2,8=0,39 м
M20,39=RAa+z2-qa+z2⋅a+z22+Pz2=29,792,8+0,39-152,8+0,39⋅2,8+0,392+18⋅0,39=25,73 кН⋅м
Сечение III 0≤z3<c
Q3=RB-qz3;
M3=RBz3-qz3⋅z32
Численные значения в точках z3=0 и z3=c=1,6 м
Q30=RB=36,21 кН;Q31,6=RB-qb=36,21-15⋅1,6=12,21 кН
M30=0;M311,6=RBb+qb⋅b2=36,31⋅1,6-15⋅1,622=38,9 кН⋅м
Согласно полученным данным строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
По эпюрам определяем опасное сечение балки, то есть сечение, в котором действуют максимальный изгибающий момент и максимальная поперечная сила (по модулю).
В нашем случае это точка x0 = a + b = 2,8 + 1,2 = 4 м.
2 . Подбор двутаврового сечения балки
Условие прочности опасного сечения балки на изгиб:
σu=Mu(max)Wx≤σu
где Wx- осевой момент сопротивления сечения балки
σ – допускаемое напряжение на изгиб для материала балки
σ=σTn=2401,5=160 МПаИз условия (3.6.1.) найдем необходимую величину момента сопротивления сечения из двух швеллеров:
Wx≥Mumaxσ=38,7·106160≃241875 мм3≈242 см3Так как заданный профиль состоит из двух швеллеров, то допускаемый момент сопротивления:
Wx=Wx2=2422=121 см2
В сортаменте стальных прокатных профилей находим соответствующий номер швеллера:
№ 18 (ГОСТ 8240 - 89) (Wx*=121 см3;Iz=1090 см4).
Построение эпюры нормальных напряжений
Тогда расчетное напряжение в опасном сечении балки:
σu=Mu(max)2⋅Wx*=38,7·1062⋅121·103=159,9 МПа<σ=160 МПа
Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки
Для определения прогибов используем основное дифференциальное уравнение упругой линии:
EIzy''=Mx
Имеются 3 уравнения изгибающих моментов:
M1=RAx1-qx122
M2=RAx2-qx222+P(x2-a)
M3=RAx3-qx322+Px3-a+m
Подставляя значения Mi в уравнение, получим:
EIzy1''=RAx1-qx122
EIzy2''=RAx2-qx222+P(x2-a)
EIzy3''=RAx3-qx322+Px3-a+mx3-a-b0
Интегрируя каждое дважды найдем:
Участок 1
y1'=1EIzRAx122-qx136+C1;
y1=1EIzRAx136-qx1424+C1x1+D1
Участок 2
y2'=1EIzRAx222-qx236+Px2-a22+C2;
y2=1EIzRAx236-qx2424+Px2-a36+C2x2+D2
Участок 3
y3'=1EIzRAx322-qx336+Px3-a22+mx3-a-b+C3;
y3=1EIzRAx336-qx3424+Px3-a36+mx3-a-b22+C3x3+D3
Определяем постоянные интегрирования из условий закрепления балки и условий непрерывности упругой линии при переходе с одного участка на другой