Для заданной балки требуется построить эпюры изгибающего момента МХ и поперечной Qy

Для балок, опирающихся на опоры, перед построением эпюр необходимо определить реакции опор.
Балка является статически определимой, поэтому составим уравнения моментов относительно опор, и определим реакции:
MA=-M-F∙a+q∙a∙a2+RB∙3a= y 0
RB=M+F∙a-q∙a∙a23=60+50-53=35 кН
MB=-RA∙3a-M-F∙4a+q∙a∙7a2=0
RA=-M-F∙4a+q∙a∙7a23=-60-200+353=-75 кН
Проверка:
Y=RA+RB+F-q∙a = 35-75+50-10∙1=0
Опорные реакции найдены верно.
Разобьем балку на участки и рассмотрим каждый в отдельности.
Первый участок: 0≤u1≤ 1 м
QyI=-F-q∙u1 =10∙u1-50– уравнение наклонной прямой.
u1 0 1
QyI
-50 -40
MxI=--F∙u1+q∙u1∙u12 = 50∙u1-5∙u12 – уравнение параболы.
Исследуем уравнение на экстремум:
MxI'=50∙u1-5∙u12'=50-10∙u1; 50-10∙u1=0;
u1=5 м - не входит в пределы первого участка (точка минимума).
MxI''=-10-ветви параболы направлены вниз.
u1 0 1
MxI
0 45
Второй участок: 0≤u2 ≤ 1 м
QyII=-RB =-35 кН – уравнение прямой, параллельной нулевой линии
MxII=-RB∙u2 = -35∙u2 – уравнение прямой.
u2 0 1
MxII
0 -35
Третий участок: 0≤u3≤ 2 м
QyIII=-RB =-35 кН – уравнение прямой, параллельной нулевой линии
MxIII=--RB∙u3+1+M =-60+35∙u3 +35=35∙u3 -25 – уравнение наклонной прямой.
u3 0 2
MxIII
-25 45
По решению аналитических выражений на всех участках, получаем, что при действии на балку внешних силовых факторов, в её поперечном сечении возникают два внутренних силовых фактора Qу и Mx. Построим эпюры Qу, кН и Mx. (см. рис.1.)
Используем условие прочности по нормальным напряжениям и подберем № двутавра.
σmax=MxmaxWx≤σ
где Mxmax – максимальное значение изгибающего момента, на эпюре.
Mxmax = 45∙106 Н∙мм.
Wx≥Mxmaxσ=45∙106160=281,25∙103 (мм3)=281,25 (см3)
По найденному значению осевого момента сопротивления изгибу из таблицы сортамента выбираем № двутавра (24) Wxтабл = 289 (см3)
Wxтабл>Wxрасч.
По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см3, Ix= 3460 см4, Smax = 163 см3, h = 24 см, bп = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h0 = h-2t = 22,1 см.
Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.
σmax=Mmax Wx=45∙103289∙10-6=156∙106 Па=156 МПа.
Проверим выбранное сечения на прочность по касательным напряжениям (по формуле Журавского)
τmax=Qy max ∙ Sотс.maxb∙Ix≤τ,
где Qymax - максимальное значение поперечной силы, взятое с эпюры Qy , Qymax = 50∙103 МПа; Sотсmax–максимальный статический момент отсечённой части (момент полусечения) . Sотсmax= 163∙103 МПа; Iх- момент инерции сечения относительно оси х, Iх = 3460∙104 мм4; b - ширина ножки двутавра, b = 5,6 мм.
τmax=50∙103 ∙ 163∙1035,6∙3460∙104=42,1 МПа,
Расчетное напряжение τmax меньше допускаемого [τ] =100 (МПа), значит выбранный двутавр №24 проходит.
Чтобы проверить сечение на прочность по главным направлениям, выбираем то сечение, в котором одновременно Qy и Mx достигают больших значений.
В нашем случае опасным будет сечение на опоре А. где: |Qy| = 40103 H, а |Mx| = 45106(Hмм)
Для этого сечения проведём полную проверку прочности используя третью теорию прочности:
σpIV =σ2+3τ2≤σ,
где σ и τ являются нормальным и касательным напряжениями в самой опасной точке, выбранного сечения. Многочисленные исследования показали, что наибольшая концентрация напряжения в двутавровом сечении возникает в месте перехода ножки в полочку. Обозначим это место точкой А (см. рис.3), а напряжениям присвоим индекс σА и τА .
σA=Mx ∙ yAIx, где|Mx| = 45∙106(H∙мм) для нашего сечения на опоре А; Iх= 3460∙104 (мм4) для выбранного двутавра №24; уА- ордината точки А, определить которую можно по геометрии профильного сечения:
yA=h2-t=2402-9,5=110,5 мм, где h - высота сечения h=240 мм; t - высота полочки, t = 9,5 мм.
σA=45∙ 106∙110,53460∙104=143,7 МПа.
τA=Qy∙Sотс.b∙Ix,
где Qy = 40∙103 H для сечения на опоре А; b= 5,6 мм и Iх = 3460∙104(мм4) для выбранного двутавра №24; Sотс– статический момент отсеченной, горизонтальной линией на которой находится точка А, части сечения, т.е. полочки. Данная величина определяется геометрически, произведением площади отсеченной части на её ординату центра тяжести:
Sотс=Aотс∙yc=B∙t∙h2-t2=115∙ 9,5∙2402-9,52=125,9∙103мм3
τA=40∙ 103∙125,9∙ 1035,6∙3460∙ 104=26 МПа
Подставляя полученные результаты напряжений в формулу, получаем:
σpIV=143,72+3∙262=150,6 МПа
Расчётное напряжениеσpIV меньше допускаемого .[]= 160МПа. Окончательно выбираем двутавр №24.
Эпюры и τ для двутаврового сечения, профиль которого работает на изгиб, представлены на рисунке 4. Необходимо определить и расставить значения нормальных и касательных напряжений в характерных точках сечения:
29242247493000292915740039100
рис