Для трехпараметрической модели найти ожидаемое время выполнения проекта

Найдем ожидаемую продолжительность работ (tож) для трехпараметрической модели по формуле:
tож = (tпес + 4 x tвер + tопт) / 6,
Например,
tож(b1) = (9 + 4 x 4 + 3) / 6 = 4.7 ≈ 5
tож(b2) = (7 + 4 x 5 + 4) / 6 = 5.2 ≈ 5
tож(b3) = (13 + 4 x 6 + 2) / 6 = 6.5 ≈ 7
tож(b4) = (8 + 4 x 6 + 3) / 6 = 5.8 ≈ 6
tож(b5) = (6 + 4 x 5 + 2) / 6 = 4.7 ≈ 5
и т. д.
Для упрощения дальнейших вычислений округляем полученные величины до целых чисел (по правилам округления с избытком и недостатком).
Для сравнения найдем также ожидаемую продолжительность работ (*tож) для двухпараметрической модели по формуле
t*ож = (3 x tпес + 2 x tопт) / 5,
Например,
t*ож(b1) = (3 х 9 + 2 x 3) / 5 = 6.6 ≈ 7
t*ож(b2) = (3 х 7 + 2 x 4) / 5 = 5.8 ≈ 6
t*ож(b3) = (3 х 13 + 2 x 2) / 5 = 8.6 ≈ 9
t*ож(b4) = (3 х 8 + 2 x 3) / 5 = 6 ≈ 6
t*ож(b5) = (3 х 6 + 2 x 2) / 5 = 4.4 ≈ 4
и т. д.
Двухпараметрическая модель проще, но дает менее точные оценки.
Для вычисления дисперсий продолжительностей работ воспользуемся формулой:
σ2(tож) = ((tпес – tопт) / 6)2,
σ2(tож(b1) = ((9 - 3) / 6)2 = 1
σ2(tож(b2) = ((7 - 4) / 6)2 ≈ 0.3
σ2(tож(b3) = ((13 - 2) / 6)2 ≈ 3.4
σ2(tож(b4) = ((8 - 3) / 6)2 ≈ 0.7
σ2(tож(b5) = ((6 - 2) / 6)2 ≈ 0.4
Дополним исходную таблицу полученными значениями:
Работа Опирается на работы tПЕС tВЕР tОПТ tож t*ож σ2
b1 – 9 4 3 5 7 1
b2 – 7 5 4 5 6 0.3
b3 – 13 6 2 7 9 3.4
b4 b1 8 6 3 6 6 0.7
b5 b1 6 5 2 5 4 0.4
b6 b2 10 8 3 8 7 1.4
b7 b2 9 4 3 5 7 1
b8 b3 10 5 2 5 7 1.8
b9 b5, b6, b7, b8 9 6 2 6 6 1.4
b10 b5, b6 11 5 3 6 8 1.8
b11 b4 9 5 2 5 6 1.4
Таким образом трехпараметрическая модель сведена к однопараметрической.
Теперь можно построить сетевой график и рассчитать его временные характеристики (рис. 4).
25717651675365
8
005
8
1084521207635
5
005
5
19484991928560011156951644651
1
22313901644654
4
18859651742870073804010233100
361570526281613
13
0013
13
165989014605b6 8
00b6 8
2183780185420b7 5
00b7 5
2481240861680055600968580b2 5
00b2 5
24893925329513
13
0013
13
1173303445837
8
007
8
-62471190700
0
000
0
30210292519410032404052520957
7
1758580303663b8 5
00b8 5
673144282915b3 7
00b3 7
33115252520955
5
19288132625720021958302520952
2
83470826257200120652520950
0
344805051371500298030728448000
598805296545b1 5
00b1 5
75912053651003140710212400b10 6
00b10 6
189787341328002754376135890b9 6
00b9 6
355189522676919
19
0019
19
225513619617011
14
0011
14
11515791987115
8
005
8
171578531587b5 5
00b5 5
3021965121285002861591160655b11 5
00b11 5
3240405984258
8
1767737161216b4 6
00b4 6
1928495121920002231390984256
6
1115695984253
3
Рис.4
Работа Опирается на работы tож σ2
b1 – 5 1
* b2 – 5 0.3
b3 – 7 3.4
b4 b1 6 0.7
b5 b1 5 0.4
* b6 b2 8 1.4
b7 b2 5 1
b8 b3 5 1.8
* b9 b5, b6, b7, b8 6 1.4
* b10 b5, b6 6 1.8
b11 b4 5 1.4
Ожидаемое критическое время Ткр = 19.
На критическом пути 1 лежат работы b2, b6, b9.
На критическом пути 2 лежат работы b2, b6, b10.
Найдем дисперсию критических путей.
σ2КР1 = σ2(b2) + σ2(b6) + σ2(b9) = 0.3 + 1.4 + 1.4 = 3.1
σ2КР2 = σ2(b2) + σ2(b6) + σ2(b10) = 0.3 + 1.4 + 1.8 = 3.5
Среднеквадратическое отклонение:
σ1 = √ Σσ2 = √ 3.1 = 1.76
σ2 = √ Σσ2 = √ 3.5 = 1.87
Для расчета вероятностных характеристик выбираем критический путь с наибольшим среднеквадратическим отклонением.
Найдем вероятность того, что проект будет выполнен не позднее заданного срока (Тдир = 20 дней).
Р(tкр ≤ 20 дн.) = 0.5 + Ф ((20 – 19) / 1.87) = 0.5 + Ф(0.53) ≈ 0.7
Таким образом, имеются неплохие шансы (70 %) выполнить проект в заданный срок.
Найдем интервал гарантированного времени выполнения проекта.
Воспользуемся правилом «трех сигм»:
3σКР = 3 х 1.87 = 5.61 ≈ 6 дн.
т.е . с вероятностью почти 0.9973 проект будет выполнен за 19 ± 6 дней.
Следовательно, можно с большой долей уверенности гарантировать, что максимальный срок выполнения проекта не превысит 25 дней.
Оценим максимально возможный срок T выполнения проекта с заданной надежностью γ = 0.90.
По таблице значений функции Лапласа найдем доверительный коэффициент Zγ для заданной надежности γ.
Так как P((tкр – Ткр) ≤ Z0.9 х σКР) = 2 х Ф ((Z0.9 х σКР / σКР)) = 2 х Ф(Z0.9) = 0.90
то из 2 х Ф(Z0.9) = 0.9 --> Ф(Z0.9) = 0.45 Z0.9 = 1.65 и
P((tкр – 19) ≤ 1.65 х 1.87) = P((tкр – 19) ≤ 3.09) = P(16.91 ≤ tкр ≤ 22.09) = = 0.9
Это значит, что с надежностью 0.9 проект будет завершен в период от 16 до 22 дней.
Более точную оценку максимально возможного срока Т завершения проекта с данной надежностью γ можно получить из формулы:
Р(tкр ≤ Т) = 0.5 + Ф ((Т – Ткр / σКР) = 0.5 + Ф(Zγ) = γ, где Т – Ткр = Zγ x σКР.
В нашем случае 0.5 + Φ(Z0.9) = 0.9, Φ(Z0.9) = 0.4, Z0.9 = 1.29 и
Т = Ткр + Zγ x σКР = 19 + 1.29 х 1.87 ≈ 19 + 2.41 = 21.41, т. е. с надежностью 0.9 проект будет завершен не позже 21 дня.
Рассмотрим теперь двухпараметрическую модель. Такая модель используется в тех случаях, когда сложно определить наиболее вероятные продолжительности выполнения отдельных работ. Ожидаемая продолжительность работ (t*ож) для двухпараметрической модели нами уже вычислена. Среднеквадратическое отклонение этих продолжительностей то же, что и у трехпараметрической модели.
Итак, для двухпараметрической модели имеются следующие данные, представленные в таблице:
Работа Опирается на работы tПЕС tОПТ t*ож σ2
b1 – 9 3 7 1
b2 – 7 4 6 0.3
b3 – 13 2 9 3.4
b4 b1 8 3 6 0.7
b5 b1 6 2 4 0.4
b6 b2 10 3 7 1.4
b7 b2 9 3 7 1
b8 b3 10 2 7 1.8
b9 b5, b6, b7, b8 9 2 6 1.4
b10 b5, b6 11 3 8 1.8
b11 b4 9 2 6 1.4
Проведем анализ полученной модели