Для табличной функции:
x
1 2,7 4 5 6,06
y
5,3 1,94 4 1 6
1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа.
2. Найти точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
3. Построить график многочлена.
Решение
1. Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов равно пяти, следовательно, многочлен Лагранжа будет многочленом четвертой степени.
L4x=5.3∙x-2.7x-4x-5x-6.061-2.71-41-51-6.06+1.94∙x-1x-4x-5x-6.062.7-12.7-42.7-52.7-6.06+
+4∙x-1x-2.7x-5x-6.064-14-2.74-54-6.06+1∙x-1x-2.7x-4x-6.065-15-2.75-44-6.06+
+6∙x-1x-2.7x-4x-56.06-16.06-2.76.06-46.06-5.
После преобразований, получим
L4x=0,4947x4-7.0779x3+35.0131x2-68.9127x+45.7828
2. Найдем точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Найдем критические точки – нули производной.
L4'x=1.9788x3-21.2338x2+70.0262x-68.9127.
L4''x=5.9365x2-42.4676x+70.0262.
Отделим корни аналитически, найдем знаки первой и второй производных:
x
L4'x
L4''x
0 -68,9127 70,0262
1 -18,1415 33,4951
2 2,0349 8,837
3 3,4893 -3,9481
4 -1,9055 -4,8602
5 -2,2767 6,1007
6 14,2485 28,9346
7 59,5429 63,6415
8 145,4793 110,2214
Т.к. на промежутках (1;2), (3;4) и (5;6) производная меняет знак, а вторая производная знакопостоянна, на этих промежутках находится по одному корню
. Причем корень на промежутках (1,2) и (5,6) – минимумы исходной функции (производная меняет знак с «-» на «+»), на промежутке (2;3), соответственно – максимум (производная меняет знак с «+» на «-»).
Корни будем искать методом касательных.
xn+1=xn-fxnf'xn, n=0,1,2,3,…
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
L4'''x=11.8730x-42.4676.
L4'''x<0 при x∈1;3 и L4'''x>0 при x∈5;6.
Следовательно, на промежутке x∈1;2 x0=1;на промежутке 3;4 x0=4; на промежутке x∈5;6 x0=6.
xn+1=xn-1.9788xn3-21.2338xn2+70.0262xn-68.91275.9365xn2-42.4676xn+70.0262
Результаты расчетов представим в таблице:
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 1 -18,1415 33,4951
1 1,541616535 -4,1731266 18,66602196 0,541616535
2 1,76518461 -0,58183914 13,56044812 0,223568075
3 1,80809168 -0,01965712 12,64846493 0,04290707
4 1,80964579 -0,00002586 12,61584274 0,00155411
5 1,80964784 0,00000000 12,61579973 0,00000205
6 1,80964784 0,00000000 12,61579972 0,00000000
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 4 -1,9055 -4,8602
1 3,607937945 0,267470563 -5,917561413 -0,392062055
2 3,653137402 0,000500541 -5,888734384 0,045199457
3 3,65322240 -0,00000011 -5,88865732 0,00008500
4 3,65322238 0,00000000 -5,88865734 -0,00000002
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 6 14,2485 28,9346
1 5,507561881 3,253674401 16,20653169 -0,492438119
2 5,306798728 0,446553648 11,84357662 -0,200763153
3 5,26909444 0,01459935 11,07756910 -0,03770429
4 5,26777652 0,00002110 11,05109930 -0,00131792
5 5,26777461 0,00000001 11,05106096 -0,00000191
6 5,26777461 0,00000000 11,05106095 0,00000000
Получаем: x=1.8096±0.0001-минимум; x=3.6532±0.0001-максимум;
x=5,2678±0.0001-минимум.
Найдем корни многочлена.
Отделим корни графически:
Из графика видно, что уравнение имеет два корня, по одному на промежутках (1;2) и (2;3).
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
На промежутке x∈1;2: L41L4''1>0⟹x0=1; на промежутке 2;3 вторая производная
меняет знак, сузим его до 2;2.5, тогда L42,5L4''2,5>0 x0=2,5.
xn+1=xn-0,4947xn4-7.0779xn3+35.0131xn2-68.9127xn+45.78281.9788xn3-21.2338xn2+70.0262xn-68.9127
Результаты расчетов представим в таблице:
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 1 5,3 -18,1415
1 1,29214784 1,30590096 -9,61230553 0,29214784
2 1,42800504 0,22015749 -6,45262721 0,13585720
3 1,46212409 0,01234595 -5,73425711 0,03411905
4 1,46427711 0,00004822 -5,68991109 0,00215302
5 1,46428558 0,00000000 -5,68973677 0,00000847
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 2,5 1,06495625 4,3603
1 2,25576078 0,06129328 3,71572501 -0,24423922
2 2,23926514 0,00060705 3,64039803 -0,01649565
3 2,23909839 -0,00000002 3,63961459 -0,00016675
4 2,23909839 0,00000000 3,63961461 0,00000001
Получаем корни:
x=1.4643±0.0001; x=2.2391±0.0001;
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
