Для семи клиентов спортивного отдела магазина зафиксирована сумма покупки (x) и время разговора с продавцом (y)

1. Построим поле корреляции (рис. 1).
Рис. 1. Поле корреляции
По расположению эмпирических точек можно предположить наличие прямой линейной корреляционной зависимости между суммой покупки (x) и временем разговора с продавцом (y)., т.е. можно принять гипотезу о линейной связи. Поэтому уравнение зависимости будем искать в виде линейного уравнения регрессии:
2. Рассчитаем параметры линейной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии составим систему нормальных уравнений относительно a и b:

Для определения следующих данных: , , , , , составим вспомогательную таблицу:
№ п.п.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 40 14 1600 560 196 13,99 0,01 0,00
2 50 14 2500 700 196 14,89 -0,89 0,79
3 60 17 3600 1020 289 15,79 1,21 1,45
4 80 19 6400 1520 361 17,60 1,40 1,96
5 100 17 10000 1700 289 19,40 -2,40 5,78
6 120 20 14400 2400 400 21,21 -1,21 1,46
7 130 24 16900 3120 576 22,11 1,89 3,56
580 125 55400 11020 2307 125 0,00 15,02
ср. знач. 82,86 17,86 7914,29 1574,29 329,57 17,86 0,00 2,15
Система нормальных уравнений для нахождения оценок параметров и имеет вид:
Рассчитываем параметр b:
Рассчитываем параметр a:
Уравнение линейной регрессии
По найденному уравнению регрессии рассчитаем так же значения е.
Коэффициент регрессии говорит о том, что при увеличении суммы покупки на 1 у . е. время разговора увеличивается в среднем на 0,090 мин.
Изобразим на одном графике поле корреляции и полученную линию регрессии (рис. 2):
Рис. 2. Поле корреляции и регрессионная прямая
3. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции
Где
Тогда коэффициент корреляции:
В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.
Коэффициент детерминации:
т.е. в 79,94% случаев изменения суммы поупки х приводят к изменению времени разговора y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 20,06% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).
Столь высокое значение коэффициента детерминации свидетельствует о высоком качестве построенного уравнения регрессии.
4. Оценим статистическую значимость коэффициента регрессии и коэффициента корреляции.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента.
Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки
;;
Табличное значение -критерия
Определим случайные ошибки , , :
Остаточная дисперсия на одну степень свободы
ma - стандартное отклонение случайной величины a:
mb - стандартное отклонение случайной величины b.
Тогда
Поскольку 5,77 > 2,57, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Поскольку 4,463 > 2,57, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Поскольку 4,463 > 2,57, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции