Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется 1 час, оборудование второго типа – 1 час, оборудование третьего типа – 4 часа. Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется 1 час, оборудование второго типа – 2 часа, оборудование третьего типа – 1 час. На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более, чем 20 часов, второго типа не более, чем 36 часов, третьего типа не более, чем 56 часов. Прибыль от реализации готового изделия А составляет 2 денежных единиц, а изделия В – 3 денежные единицы. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации. Решить задачу графическим и аналитическим симплексным методом.
Решение
1. Пусть х1 – количество изделий вида А,
х2 – количество изделий вида В.
Тогда - время использования оборудования первого типа на производство изделий А и В,
- время использования оборудования второго типа на производство изделий А и В,
- время использования оборудования третьего типа на производство изделий А и В,
По условию задачи время использования оборудования всех типов ограничено, что позволяет составить следующую систему неравенств:
По смыслу задачи:
Целевая функция экономико-математической модели, выражающая получаемую максимальную прибыль:
2. Составим план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации, используя графический метод. Для этого построим область допустимых значений для заданной системы неравенств.
Построим прямые каждого неравенства по двум точкам и определим полуплоскости, заданные знаком неравенства. Координаты точек вычислим, заменив неравенство на уравнение, затем поочередно приравняв переменные к нулю.
1) А(0;20) А1(20;0)
2) B(0;18) В1(36;0)
3) С(0;56) С1(14;0)
Таким образом, многоугольник BDEFO – область допустимых решений для заданной системы неравенств.
Рассмотрим целевую функцию задачи . Для этого построим прямую, отвечающую значению функции . Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2;3). Данную прямую будем двигать параллельным образом до последнего касания обозначенной области, поскольку нас интересует максимальное решение.
Прямая пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют системе уравнений этих прямых:
Таким образом, найдем максимальное значение целевой функции:
Для получения максимальной прибыли в размере 56 денежных единиц необходимо учитывать изготовление изделий вида A в объеме 4 единиц, при этом объем изготовления изделий вида B равен 16 единицам.
3
. Найдем оптимальный план (х1, х2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Zmax , используя симплекс-метод.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к канонической форме. В 1-м неравенстве вводим базисную переменную x3, во 2-м неравенстве - x4, в 3-м неравенстве - x5. Таким образом получим следующую систему уравнений:
Таким образом, матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5, полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X0 = (0,0,20,36,56)
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x3 20 1 1 1 0 0 20
x4 36 1 2 0 1 0 18
x5 56 4 1 0 0 1 56
F(X0) 0 -2 -3 0 0 0
Итерация №0.
Проверка критерия оптимальности.
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2и из них выберем наименьшее:
min (20; 18; 56) = 18
Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Пересчет симплекс-таблицы.
Вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
