Для изучения производительности труда X (тыс. руб.) обследовано n предприятий данной отрасли. Результаты представлены выборкой (по вариантам 1 – 10). По данным выборки:
1) постройте точечный вариационный ряд, распределив значения по частотам;
2) от ряда 1 перейдите к интервальному вариационному ряду;
3) от ряда 2 перейдите к точечному распределению равноотстоящих данных по частотам и относительным частотам;
4) постройте гистограмму частот для ряда 2 и полигон относительных частот для ряда 3;
5) запишите аналитически и постройте графически эмпирическую функцию распределения для ряда 3;
6) найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, “исправленную” выборочную дисперсию, “исправленное” среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации;
7) определите моду и медиану по точечному ряду 3;
8) оцените близость эмпирического распределения к нормальному закону, используя первичную статистическую обработку данных;
9) при заданной надежности γ=0,95 постройте доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания a и неизвестной дисперсии D случайной величины X в предположении, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности;
10) при уровне значимости α=0,05 проверьте гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой извлечена данная выборка.
Вариант 1:
136; 122; 132; 128; 123; 133; 130; 131; 134; 149; 138; 127; 119; 137; 133; 130; 143; 134; 128; 131; 118; 133; 131; 132; 118; 128; 122; 130; 139; 145; 122; 130; 128; 136; 132; 126; 124; 117; 139; 132; 141; 144; 138; 133; 127; 150; 144; 133; 134; 125; 140; 135; 129; 138; 138; 147; 150; 126; 136; 135; 150; 135; 138; 140; 122; 142; 127; 127; 132; 145; 140; 133; 127; 142; 144; 125; 132; 145; 137; 132; 133; 130; 143; 134; 128; 131; 118; 133; 131; 132; 118; 128; 122; 130; 139; 145; 122; 130; 128; 134.
Решение
1) Для того чтобы построить точечный вариационный ряд, расположим наблюдаемые значения в порядке их возрастания и относительно каждого укажем частоту, т.е. количество повторений в выборке; при этом сумма всех частот равна объему выборки n.
Ряд 1:
xi
117 118 119 120 121 122 123 124 125 126
ni
1 4 1 0 0 6 1 1 2 2
xi
127 128 129 130 131 132 133 134 135 136
ni
5 7 1 7 5 8 8 5 3 3
xi
137 138 139 140 141 142 143 144 145 146
ni
2 5 3 3 1 2 2 3 4 0
xi
147 148 149 150
ni
1 0 1 3
n=ni= 100 – объем выборки
r = 34 – число различных значений выборки
2) Так как объем выборки велик и число различных значений исследуемого случайного признака также велико, то перейдем от точечного ряда 1 к интервальному ряду 2. Обследуемый диапазон [117;150] разбиваем на число интервалов k = 1 + 3,322lg n, длина каждого h=xmax-xmink.
k = 1 + 3,322*lg100 = 7,644 ≈ 8; h=150-1178=4,13≈4.
Ряд 2:
xi .. xi+1 ni
117 .. 121 6
121.. 125 8
125 .. 129 16
129 .. 133 21
133 .. 137 19
137 .. 141 13
141 .. 145 8
145 .. 150 9
3) Перейдем от интервального ряда 2 к точечному. Для этого вычислим середины интервалов и сопоставим им частоты или относительные частоты. Распределение по частотам запишем в виде ряда 3, а распределение по относительным частотам в виде ряда 4.
Ряд 3:
xi’ ni
119 6
123 8
127 16
131 21
135 19
139 13
143 8
147,5 9
Ряд 4:
xi’ wi
119 0,06
123 0,14
127 0,3
131 0,51
135 0,7
139 0,83
143 0,91
147,5 1
4) гистограмма частот для ряда 2
Полигон относительных частот для ряда 3
5) Эмпирическая функция распределения для ряда 3 запишется в виде:
Fx=0, x≤1190,06, 119<x≤1230,14, 123<x≤1270,3, 127<x≤1310,51, 131<x≤1350,7, 135<x≤1390,83, 139<x≤1430,91, 143<x≤147,51, x>147.5
6) Построим таблицу для расчета показателей.
Группы xi’ ni
xi’* ni
wi
(x-xi)^2· ni
ni/n
117 - 121 119 6 714 6 1217,52 0,06
121 - 125 123 8 984 14 839,68 0,08
125 - 129 127 16 2032 30 624,00 0,16
129 - 133 131 21 2751 51 105,84 0,21
133 - 137 135 19 2565 70 58,52 0,19
137 - 141 139 13 1807 83 430,56 0,13
141 - 145 143 8 1144 91 761,28 0,08
145 - 150 147,5 9 1327,5 100 1828,85 0,09
Итого 100 13324,5 5866,25 1
Выборочная средняя x=xi∙nin=13324,5100=133,245.
Выборочная дисперсия D=xi-x2∙nin=5866,25100=58,662.
“Исправленная” выборочная дисперсия S2=nn-1D=10099∙58,662 = 59,255.
“Исправленное” среднеквадратическое отклонение s=S2=59,255=7,698.
Коэффициент вариации V=sx∙100%=7,659133,245∙100%=5,748%
7) Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.
Mo=x0+hn2-n1n2-n1+n2-n3, где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; n2 –частота, соответствующая модальному интервалу; n1 – предмодальная частота; n3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 129, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.
Mo=129+421-1621-16+21-19=131,857
. Наиболее часто встречающееся значение ряда – 131,857.
Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 129 - 133, т.к. в этом интервале накопленная частота wi, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота wi которого превышает половину общей суммы частот).
Me=x0+hnMen2-wme-1=129+4211002-30=132,809. Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 132.81.
8) Построенные вариационные ряды 1-3, их графические изображения представляют данные в компактном виде. Кроме этого имеется возможность получить сведения о законе распределения вероятностей исследуемой случайной величины
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
